Secuencias - circunvolución

Question

Tenemos la siguiente configuración:

Deje $A$ el conjunto de todas las secuencias complejas $x=(x_n)_{n \in \mathbb N_0}$ con \begin{align*} \Vert x \Vert := \sum_{n = 0}^\infty \vert x_n \vert e^{-n^2} < \infty. \end{align*} Considere la posibilidad de la convolución $(xy)_n = \sum_{k = 0}^n x_k y_{n - k}$ como la multiplicación de $A$. A continuación, $A$ es un conmutativa unital Álgebra de Banach.

Ahora lo que tengo hasta ahora:

1. Una es, obviamente, una normativa espacio, esto es bastante fácil de mostrar.
2. La convolución es bien definidos y submultiplicative, porque $\begin{eqnarray*} \Vert x y \Vert &=& \sum_{n = 0}^\infty \vert \sum_{k = 0}^n x_k y_{n - k} \vert e^{-n^2} \leq \sum_{n = 0}^\infty \sum_{k = 0}^n \vert x_k \vert \vert y_{n - k} \vert e^{-n^2} \leq \sum_{n = 0}^\infty \vert y_n \vert \sum_{k = 0}^\infty \vert x_k \vert e^{-(n + k)^2} \\ &=& \sum_{n = 0}^\infty \vert y_n \vert e^{-n^2} \sum_{k = 0}^\infty \vert x_k \vert e^{-k^2} e^{-2nk} \leq \sum_{n = 0}^\infty \vert y_n \vert e^{-n^2} \sum_{n = 0}^\infty \vert x_n \vert e^{-n^2} = \Vert x\Vert \Vert y \Vert < \infty \end{eqnarray*}$
3. Una es conmutativa porque $(xy)_n = \sum_{k = 0}^n x_k y_{n - k} = \sum_{k = 0}^n y_k x_{n - k} = (yx)_n$ todos los $n \in \mathbb N_0$.
4. Una es unital porque $e = (1, 0, \dots) \in A$ $(xe)_n = \sum_{k = 0}^n x_k e_{n - k} = x_n$ todos los $n \in \mathbb N_0$.

Ahora mi problema: ¿Cómo puedo demostrar que $A$ es un Espacio de Banach? Yo ya probé el siguiente:

Deje $(x^{(k)})_{k \in \mathbb N}$ una secuencia de Cauchy en $A$. Deje $\epsilon > 0$. Entonces existe un $N \in \mathbb N$ con \begin{align*} \Vert x^{(k)} - x^{(l)} \Vert = \sum_{n = 0}^\infty \vert x^{(k)}_n - x^{(l)}_n \vert e^{-n^2} \leq \epsilon & & \text{ for all } l, k \geq N \end{align*} Por lo tanto para todos los $n \in \mathbb N_0$ se sigue que $\vert x^{(k)}_n - x^{(l)}_n \vert \leq e^{n^2} \epsilon$. Así que la secuencia $(x^{(k)}_n)_{k \in \mathbb N}$ es una secuencia de Cauchy para todos los $n \in \mathbb N_0$ $\mathbb C$ y por lo tanto converge a una $x_n \in \mathbb C$. Set $x =: (x_n)_{n \in \mathbb N_0}$. Tenemos que mostrar que $x \in A$. Ahora me gustaría tener algo así: \begin{eqnarray*} \Vert x \Vert = \sum_{n = 0}^\infty \vert x_n \vert e^{-n^2} &\leq& \sum_{n = 0}^\infty \vert x_n - x^{(k)}_n \vert e^{-n^2} + \sum_{n = 0}^\infty \vert x^{(k)}_n \vert e^{-n^2} \\ &\leq& \sum_{n = 0}^\infty \vert x^{(k)}_n \vert e^{-n^2} + \Vert x^{(k)} \Vert < \infty \end{eqnarray*} Pero yo no podía demostrar que $\sum_{n = 0}^\infty \vert x^{(k)}_n \vert e^{-n^2} < \infty$. Agradecería un poco de ayuda. Tenga un buen día!

Answer 1

Puesto que la función $w(n)= e^{-n^2}$ es positivo, la fórmula $$\mu(A) = \sum_{n\in A} e^{-n^2}\quad (A\subseteq \mathbb{N})$$ defines a measure on the power-set of $\mathbb{N}$. Then $A = $ L_1(\mu), por lo que es un espacio de Banach.