Si Y es diagonalizable, mostrar que eigenvaues todos son de la forma...

Question

Da: $X\in\mathcal{M}_n(\mathbb{Q})$ y $Y\in\mathcal{M}_m(\mathbb{Q})$

$R : \mathcal{M}_n (\mathbb{Q}) \to \mathcal{M}_m(\mathbb{Q})$ asignación de matriz $n \times n$ $m \times m$

$R(Z) = XZ-ZY$

Demostración: si $Y$ es diagonalizable entonces todos eingenvalues $R$ son de la forma $p-q$ $p$ (o $q$) un eingenvalue $X$ (o $Y$).

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Mi pensamiento: no tengo ninguna pista cómo comenzar.

Answer 1

Deje $P$ ser una matriz que diagonalizes $Y$. Entonces podemos escribir $$Y = PDP^{-1}$$ Ahora vamos a transformar $R$ de acuerdo con el de arriba $$R(Z) = XZ - ZY = XZ - ZPDP^{-1} = (XZP - ZPD)P^{-1}$$ Si definimos el asociado lineal mapa de $R_D$ $$R_D(Z) = ZX - ZD$$ lo que la anterior, dice que $$R_D(ZP) = R(Z)P$$ Ahora note que si $Z$ es un autovector de a $R$ bajo autovalor $\lambda$, luego tenemos el vector propio asociado $ZP$ $R_D$ con el mismo autovalor: $$R(Z) = \lambda Z \iff R_D(ZP)= R(Z)P=\lambda ZP$$ Por lo tanto, basta examinar los autovalores de a $R_D$. Ahora vamos a $Z$ ser un autovector de a $R_D$ con autovalor $\lambda$. Entonces tenemos $$R_D(Z) = XZ - ZD = \lambda Z \iff XZ = Z(\lambda I + D)$$ Esto implica que cada (no-cero) de la columna de $Z$ debe ser un autovector de a $X$. Si $\mathbf{z}_i$ indica el $i$ésima columna de a $Z$ $d_i$ indica el $i$th entrada de $D$ (es decir, el $i$th autovalor de a $Y$), luego $$X\mathbf{z}_i = (\lambda + d_i)\mathbf{z}_i$$ Por lo tanto, cada una de las $\lambda + d_i$ es un autovalor de a $X$ y, en particular, $\lambda$ es igual a $p - q$ donde $p$ es un autovalor de a $X$ $q$ es un autovalor de a $Y$.