Función convexa con derivada discontinua

Question

Me interesa esta pregunta:

Encuentra una función convexa diferenciable tal que su derivada no sea continua.

He descubierto que no podemos encontrar dicha función si su dominio es $\mathbb{R}$ ya que toda función convexa diferenciable $f\colon \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ es continuamente diferenciable (como se ha demostrado aquí ).

Por lo tanto, tenemos que buscar funciones multivariables, pero no es un trabajo fácil.

Muchas gracias.

Answer 1

Supongamos que $\Omega\subset\mathbb{R}^n$ es un conjunto abierto convexo, y $f : \Omega\to\mathbb{R}$ es una función convexa diferenciable. Entonces $\nabla f$ es continua en $\Omega$ .

Se trata de un teorema, por ejemplo, en Análisis convexo de Rockafellar, página 246.