Ningún campo correctamente entre $\mathbb Q$y $E$ iff $G(K/\mathbb Q) \cong A_4$ o $S_4$

Question

Que $f(x) \in \mathbb Q[x]$ ser irreducible de grado 4. Que $\alpha$ sea una raíz de $f(x)$. Que $E = \mathbb Q(\alpha)$ y $K$ sea el campo División de $f(x)$ $\mathbb Q$. Demostrar que no hay ningún campo correctamente entre $\mathbb Q$y $E$ si y sólo si $G(K/\mathbb Q) \cong A_4$ o $S_4$.

En este punto en el curso hemos ido sólo a través del teorema Fundamental de la teoría de Galois. Estoy bastante perdido, por lo que cualquier consejos, ayudaría a los bocetos de una prueba. ¡Gracias!

Answer 1

Sí, comenzar con la conversación.

Si $G = G(K/\mathbb Q) \cong A_4$ o $S_4$, $G$ $2$- transitiva, por lo tanto primitivo, en las raíces. De ello se desprende que el estabilizador $G_{\alpha}$ (que es, respectivamente, $A_3$ o $S_3$) es un subgrupo maximal de a $G$. (También se puede verificar directamente que los estabilizadores son máximas.)

Ahora el campo fijo de $G_{\alpha}$$E = \Bbb{Q}(\alpha)$: el uso de la Galois de la correspondencia.

Por el contrario, ver que los subgrupos de $S_4$ otros de $A_4$ $S_4$ puede surgir (sugerencia: deberían actuar transitivamente sobre las raíces) y la verificación de que los estabilizadores están no maximal en esos casos.