Existencia de una solución para una EDO no lineal en$[0,\infty)$

Question

Me gustaría demostrar que la solución a la siguiente IVP existe en $[0,\infty)$. El IVP es dada por

$$\begin{cases} y'(t) = y^2 \cos(t)-ye^t \\ y(0)= y_0 \end{casos}$$ donde $y_0 \in \mathbb{R}$.

Ya he establecido único solvencia en un intervalo alrededor del origen, decir $[0,\epsilon)$ algunos $\epsilon>0$ porque $f(y,t)=y^2 \cos(t)-ye^t$ es de lipschitz en $y$ en una vecindad del origen.

Mi estrategia habitual para mostrar que existe una solución en ese intervalo es tratar de encontrar un superior/inferior de solución para hacer un enlace a las soluciones y por lo tanto el uso de la envolvente de generar un poco de información sobre lo que ocurre a la solución de la $t \rightarrow \infty$. Esto, sin embargo, es difícil en este caso debido a la $e^t$ plazo.

Cómo puedo mostrar la existencia en $[0,\infty)$ dado cualquier condición inicial, para $y_0$?

Answer 1

No es verdad. La solución general a su ecuación diferencial es $$y(t) = \dfrac{-\exp(-e^t)}{\int \exp(-e^t)\cos(t)\; dt}$ $, donde el denominador es cualquier antiderivada de$\exp(-e^t)\cos(t)\; dt$. En particular, al tomar una antiderivada que es$0$ en, por ejemplo,$t=1$, obtienes una solución que se vuelve infinita en ese valor de$t$. Numéricamente, esto corresponde a la solución con el valor inicial$$ y(0) = \dfrac{e^{-1}}{\int_0^1 \exp(-e^s)\cos(s)\; ds} \approx 2.037005842

Answer 2

SUGERENCIA: puede utilizar el teorema de Peano para probar (local) la existencia de solución para su ODA:

Si $D\in \mathbb{R} \times \mathbb{R}$ es un subconjunto abierto de $\mathbb{R}^2$, y si $f:D \to \mathbb{R}$ es continua, entonces la educación a distancia $$\begin{cases} y'(t) = f\big(t, y(t) \big), \\ y\left(t_0\right) = y_0, & \left(t_0, y_0\right) \in D, \end{casos}$$ tiene una solución local $\hat y : [t_0-\varepsilon, t_0 + \varepsilon] \to \mathbb R$ algunos $\varepsilon > 0$.

Usted probablemente tendrá que comprobar que su ODA satisface el enunciado del teorema, que no debe ser difícil en absoluto. Alternativamente, usted puede consultar la prueba del teorema de Peano y utilizarlo para construir de prueba personalizado para su particular ODA.

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PS Como se señaló en los comentarios de @RobertIsrael, este enfoque sólo permite establecer la existencia de locales solución única. Solución Global, sin embargo, no puede existir.