$f$ continua y suprema, $d_1(a,b) \le d_2(f(a),f(b))$ , $X$ implica completamente $Y$ completo

Question

Deje que $(X,d_1)$ y $(Y,d_2)$ ser espacios métricos. Que $f : X \to Y$ ser continuo y surjectivo. Supongamos que $d_1(a,b) \le d_2(f(a),f(b))$ para todos $a,b \in X$ . ¿Cómo podemos demostrar que si $X$ está completo entonces $Y$ está completo?

Answer 1

Pista:

1. Considere cualquier secuencia caucásica $y_n \in Y$

2. Deje que $x_n$ ser una secuencia s.t. $f(x_n) = y_n$ para todos $n$ . ¿Por qué para cualquier $y_n$ tal $x_n$ ¿Existe?

3. Demuestra que $x_n$ es caucásico, y deja $x$ ser su límite

4. mostrar que $y_n \to f(x)$

Answer 2

Prueba :

Deje que $\{y_n\}_{n \in\mathbb {N}}$ ser una secuencia caucásica,
$$ \forall \epsilon >0.\; \exists N \in\mathbb {N}.\; \forall n,m \ge N.\;d_2(y_n,y_m)< \epsilon $$ Desde $f$ es surjectiva, podemos encontrar $\{x_n\}_{n \in\mathbb {N}}$ de tal manera que $ \forall n \in\mathbb {N}.\;f(x_n) = y_n$ .
$$ \Longrightarrow\forall m,n \ge N.\;d_1(x_m-x_n) \le d_2(f(x_m)-f(x_n)) = d_2(y_m-y_n)< \epsilon. $$ $\{x_n\}_{x \in\mathbb {N}}$ es caucásica, converge en $X$ Becas $X$ está completo. Denota $ \xi : = \lim_ {n \to\infty } x_n$

Desde $f$ es continuo, es secuencialmente continuo, es decir $$ \lim_ {n \to\infty } y_n= \lim_ {n \to\infty } f(x_n) = f( \lim_ {n \to\infty }x_n) = f( \xi ) $$ Por lo tanto $\{y_n\}_{n \in\mathbb {N}}$ converge. Desde $\{y_n\}_{n \in\mathbb {N}}$ es elegida arbitrariamente, cada secuencia de Cauchy en $Y$ converge $ \Longrightarrow Y$ está completo.