¿Cómo demostrar que la línea perpendicular al radio es la tangente en el sentido del cálculo?

Question

Dejemos que $P=(p_1,p_2)$ sea un punto de un semicírculo y $r$ sea la línea perpendicular al radio $\overline{OP}$ como en la imagen de abajo.

Euclides demostró (Libro III, Proposición 16) que $r$ no interseca el semicírculo en ningún punto que no sea $P$ .

Me gustaría que me ayudaran a demostrar que $r$ satisface la definición de cálculo de la línea tangente al semicírculo en $P$ . Para ello, tenemos que demostrar que si $y$ es la función cuya gráfica es el semicírculo, entonces $$\lim_{x\to p_1}\frac{y(x)-y(p_1)}{x-p_1}$$ existe.

Dado que la pendiente de $\overline{OP}$ es $-p_2/p_1$ sabemos que el valor del límite tiene que ser $\displaystyle \frac{p_1}{p_2}=\frac{p_1}{y(p_1)}$ .

Esta es una parte de la La prueba de John Molokach del Teorema de Pitágoras. Por lo tanto, no podemos utilizar la expresión $y(x)^2=|\overline{OP}|^2-x^2$ .

Gracias.

---

EDITAR. Posible respuesta a mi pregunta: (¿Es correcto?) Basta con demostrar que los límites $$\lim_{x\to p_1^+}\frac{y(x)-y(p_1)}{x-p_1}\tag{1}$$ y $$\lim_{x\to p_1^-}\frac{y(x)-y(p_1)}{x-p_1}\tag{2}$$ existen y son iguales. Dado $x\in(p_1,0)$ , considere las líneas $s(x)$ , $t(x)$ y $u(x)$ como en la imagen de abajo.

Observe que $$\text{slope of }t(x)\leq\text{slope of }s(x)\leq\text{slope of }r=\frac{p_1}{y(p_1)}.$$ Por lo tanto, si asumimos $y$ continua, concluimos que $$\lim_{x\to p_1^+}[\text{slope of }t(x)]=\lim_{x\to p_1^+}\frac{x}{y(x)}=\frac{p_1}{y(p_1)}.$$ Del teorema del apretón se deduce que $$\lim_{x\to p_1^+}[\text{slope of }s(x)]=\frac{p_1}{y(p_1)}.$$ Esto demuestra que el límite $(1)$ existe y es igual a $p_1/y(p_1)$ porque $$\frac{y(x)-y(p_1)}{x-p_1}=\text{slope of }u(x)=\text{slope of }s(x).$$

El límite $(2)$ se puede tratar de forma análoga y un razonamiento similar funciona si $p_1>0$ .

Answer 1

No creo que haya ningún argumento de cálculo. Sin embargo, hay un argumento de geometría clásica.

Supongamos que el círculo $\Gamma$ centrado en $O$ con radio $OP$ se cruza con la línea $r$ perpendicular a $OP$ en $P$ en otro punto $Q \neq P$ . Entonces, como la suma de todos los ángulos del triángulo $OPQ$ es $180^\circ$ y $OPQ$ es no degenerado, tenemos $$\angle OQP = 180^\circ-\angle OPQ-\angle POQ =90^\circ-\angle POQ<90^\circ=\angle OPQ\,.$$ Como el ángulo mayor de un triángulo es subtendido por un lado mayor, $OP<OQ$ . Esto contradice la suposición de que $Q$ está en $\Gamma$ (de donde $OQ$ debe ser igual a $OP$ ).

Answer 2

No sé qué parte del desarrollo del Cálculo quieres utilizar. Si estás dispuesto a aceptar una respuesta que no proceda directamente de la definición, sino que utilice técnicas a cierta distancia de la definición, entonces prueba esto:

También podrías suponer que tu círculo es el círculo unitario, $x^2+y^2=1$ . Uso de la diferenciación implícita, $2x\,dx+2y\,dy=0$ Por lo tanto $\frac{dy}{dx}=-x/y$ . La tangente al círculo en el punto $(a,b)$ por lo que tiene pendiente $-a/b$ mientras que la pendiente del radio es $b/a$ . Cada una de estas pendientes es el recíproco negativo de la otra, por lo que la tangente es perpendicular al radio.

Answer 3

Mucho después de que surgiera el cálculo diferencial de Euclides, éste incluía la generalidad diferencial sobre todas las curvas y su curvatura, no sólo los círculos.

Molokach ve la tangente como

1) El caso límite de la secante de los puntos coincidentes es la tangente ,

cuando

2) El radio de curvatura es constante.

que es una vista típica del cálculo diferencial.

Que la pendiente en $r$ sea una definición de cálculo de la línea tangente a cualquier curva en $P$ . Tenemos una normal a la tangente, no hay radio ni centro fijo..

$$ \lim_{x\to p_1}\frac{y(x)-y(p_1)}{x-p_1} = yd(x) $$

Curvatura $ 1/\overline{OP}$ en P es ( s es la longitud de arco) es su tasa de cambio:

$$ \dfrac{d (tan^{-1} yd(x)) } { ds } = \dfrac { yd^{'} (x) }{ ( 1 + yd^2(x))^{3/2}} $$

el círculo es un caso especial cuando lo anterior es una constante.

Answer 4

He aquí un breve resumen de la prueba que creo que responderá a su preocupación:

1. Supongamos, vía Euclides, que la recta tangente al semicírculo es perpendicular al radio trazado hasta el punto de tangencia.
2. La pendiente de la línea que contiene el radio es $\frac{dy}{dx}=\frac{y}{x}$ por lo que la pendiente de la línea tangente es $\frac{dy}{dx}=-\frac{x}{y}$ .
3. La solución general de la ecuación $\frac{dy}{dx}=-\frac{x}{y}$ es $x^2+y^2=C.$ Utilice el hecho de que la curva debe pasar por $(0,c)$ para resolver $C=c^2$ y luego notar que la curva pasará por un punto $(a,b)$ también para que $a^2+b^2=c^2.$

Esencialmente creé este argumento con la noción de que el TP puede surgir de la ecuación del círculo en lugar del argumento habitual que utiliza el TP para escribir la ecuación del círculo.

En cuanto a la ejercicio para el lector Esa frase fue añadida por el editor de The American Mathematical Monthly como una forma de ahorrar espacio en el relleno de la página. En realidad, sólo harían falta unas pocas líneas para explicar esto...

En primer lugar, si el punto $P$ tiene coordenadas $(x_1,y_1)$ entonces la ecuación de la recta tangente es $$y-y_1=\left.-\frac{x}{y}\right|_{(x_1,y_1)}(x-x_1).$$

Basándose en el argumento anterior, la línea contiene $P$ y su pendiente en $P$ es la misma que la primera derivada de la curva en $P.$

Answer 5

Estoy totalmente de acuerdo con Batominovski en que no hay argumento de cálculo. Para que el argumento de cálculo funcione se necesita la relación funcional entre $x, y$ .

Es fácil demostrar mediante los axiomas de Euclides que si $OP$ es el radio de un círculo con centro $O$ para que $P$ se encuentra en el círculo y $PT$ es cualquier línea que pase por $P$ entonces la línea $PT$ interseca el círculo en un solo punto $P$ si y sólo si $\angle OPT = \pi/2$ . Esta línea $PT$ se llama tangente y se basa en la figura si $P$ es $(x, y)$ entonces la pendiente de $PT$ viene a ser $-x/y = dy/dx$ y esto da $x^{2} + y^{2} = k$ y el teorema de Pitágoras pueden establecerse como se menciona en el artículo enlazado en la pregunta.

Actualización : Podemos utilizar además la definición de tangente dada en el cálculo. Sea $P(x, y)$ sea un punto de la curva y que $P'(x', y')$ sea otro punto cercano de la curva. Si el acorde $PP'$ se estabiliza en una única dirección como punto $P'$ se mueve hacia $P$ entonces la línea a través de $P$ en esa única dirección se dice que es tangente a la curva en el punto $P$ .

Añadimos algo de rigor en la definición anterior. Si hay una línea única $PT$ de paso $P$ tal que para cualquier $\epsilon > 0$ hay puntos $P' P''$ en la curva con $P' \neq P \neq P''$ y $P$ en el arco $P'P''$ tal que los dos ángulos "entre líneas $PT$ y $PQ'$ " y "entre $PT$ y $PQ''$ " donde " $Q'$ es cualquier punto del arco $PP'$ " y " $Q''$ es cualquier punto del arco $PP''$ "son inferiores a $\epsilon$ entonces decimos que la línea $PT$ es una tangente a la curva en $P$ .

Usando esta definición también podemos demostrar que la tangente a una circunferencia en un punto es perpendicular al radio que pasa por ese punto. Nótese además que esto está todavía a un paso del concepto de derivada. Aquí estamos considerando la existencia de una dirección única en el caso límite cuando $P'$ se mueve hacia $P$ . Por lo tanto, estamos hablando del ángulo que forma la tangente con la $X$ eje.

Para demostrar que la existencia de la tangente lleva también a la existencia de la derivada sólo tenemos que preocuparnos del caso especial en el que el punto $P$ se encuentra en $X$ eje (es decir, cuando la tangente es paralela a $Y$ eje) porque $\tan \theta$ es indefinido en $\theta = \pm(\pi/2)$ . Para otros puntos del círculo $P$ el ángulo $\theta$ hecho por tangente en $P$ a la $X$ es tal que $\tan \theta$ está definida y, por tanto, la pendiente/derivada $\dfrac{dy}{dx} = \tan \theta$ existe.