Demostrar que $A \mathop \triangle C \subseteq (A \mathop \triangle B)\cup (B \mathop \triangle C)$

Question

Supongamos que A, B y C son conjuntos, demuestre que $A \mathop \triangle C \subseteq (A \mathop \triangle B)\cup (B \mathop \triangle C)$

Me pregunto si esta prueba está bien, o si estoy pasando algo por alto, ¡gracias!

Prueba. Supongamos que $x \in A \mathop \triangle C$ . Si $x \in A \mathop \triangle B$ entonces claramente $x \in (A \mathop \triangle B) \cup (B \mathop \triangle C)$ por lo que consideraremos el caso en que $x \notin A \mathop \triangle B$ . Supongamos que $x \notin A \mathop \triangle B$ . Esto significa que $x \in A \leftrightarrow x \in B$ . Desde $x \in A \mathop \triangle C$ , ya sea $x \in A \mathop \backslash C$ o $x \in C \mathop \backslash A$ . Consideraremos ambos casos.

Caso 1: $x \in A \mathop \backslash C$ . Así que $x \in A$ y $x \notin C$ . Desde $x \in A$ y $x \in A \leftrightarrow x \in B$ se deduce que $x \in B$ . Entonces, como $x \notin C$ , $x \in B \mathop \backslash C$ Así que $x \in B \mathop \triangle C$ . Por lo tanto, $x \in (A \mathop \triangle B)\cup (B \mathop \triangle C)$

Caso 2: $x \in C \mathop \backslash A$ . Así que $x \in C$ y $x \notin A$ . Entonces, como $x \notin A$ y $x \in A \leftrightarrow x \in B$ se deduce que $x \notin B$ . Así, $x \in C \mathop \backslash B$ Así que $x \in B \mathop \triangle C$ y por lo tanto, $x \in (A \mathop \triangle B)\cup (B \mathop \triangle C)$ .

Edición: También me interesaría ver cualquier método alternativo para probar esto.

Answer 1

He aquí una alternativa:

$$A\triangle C=A\triangle\varnothing\triangle C=A\triangle(B\triangle B)\triangle C=(A\triangle B)\triangle(B\triangle C)\subseteq(A\triangle B)\cup(B\triangle C)$$

Answer 2

¿Qué tal unos diagramas de Venn? (Por favor, no comenten la falta de rigor).

Answer 3

Dejemos que $x \in A \mathop \triangle C$ .

Caso $1$ : $x \in A \backslash C$ . Entonces $x \in A$ y $x \notin C$ . Si $x \in B$ entonces $x \in B\backslash C$ y si $x\notin B$ entonces $x \in A\backslash B$ . En cualquier caso tenemos $x \in(A \mathop \triangle B)\cup (B \mathop \triangle C)$ .

Caso $2$ : $x\in C\backslash A$ . Entonces $x \in C$ y $x \notin A$ . Si $x \in B$ entonces $x \in B \backslash A$ y si $x \notin B$ entonces $x \in C \backslash B$ . En cualquier caso tenemos $x \in (A \mathop \triangle B)\cup (B \mathop \triangle C)$ .

Answer 4

Aquí hay otra prueba alternativa, en mi formato de prueba favorito: el formato de cálculo de Feijen(-Dijkstra-Scholten-Gries-etc.). Utilizaré la siguiente definición de $\Delta$ : $$x \in P \Delta Q \equiv x \in P \not\equiv x \in Q$$

Empezando por el lado más complejo, y trabajando a nivel de elementos, tratamos de transformar $x \in (A \Delta B) \cup (B \Delta C)$ y trabajar para $A \Delta C$ utilizando la lógica: $$ \begin{align} & x \in (A \Delta B) \cup (B \Delta C) \\ \equiv & \;\;\;\;\;\text{"definition of $\cup$; above definition of $\Delta$, twice"} \\ & (x \in A \not\equiv x \in B) \lor (x \in B \not\equiv x \in C) \\ \equiv & \;\;\;\;\;\text{"logic: use negation of right side of $\lor$ in left side -- to bring $ A $ and $ C $ together"} \\ & (x \in A \not\equiv x \in C) \lor (x \in B \not\equiv x \in C) \\ \Leftarrow & \;\;\;\;\;\text{"logic: weakening"} \\ & x \in A \not\equiv x \in C \\ \equiv & \;\;\;\;\;\text{"above definition of $\Delta$"} \\ & x \in A \Delta C \\ \end{align} $$ Según la definición de $\subseteq$ esto completa la prueba.