¿Qué es? $\lim\limits_{n\to\infty}\frac{n^\sqrt n}{2^n}$ ?

Question

Estoy atascado en esta pregunta en la que tengo que calcular cuál es la gran O de

$2^n $ y $n^\sqrt{n}$

¿Puedo decir que lim $2^n/n^\sqrt{n}$ = $\lim_{n\to\infty} (2/n^{1/\sqrt{n}})^n$

y luego concluir que cuando significa $(2/0)^n\to \infty$ ?

Se agradece cualquier ayuda

Answer 1

\begin{align*} \lim_{n\rightarrow \infty }\frac{n^{\sqrt{n}}}{2^{n}}&=\lim_{n\rightarrow \infty }\exp\left ( \sqrt{n}\ln n-n\ln2 \right )\\ &=\exp\lim_{n\rightarrow \infty }\left ( \sqrt{n}\left ( \ln n-\sqrt{n}\ln2\right )\right )\\ &=\exp\lim_{n\rightarrow \infty }\sqrt{n}\cdot \ln\left ( \frac{n}{2^{\sqrt{n}}}\right ) \end{align*} cuando $n\to \infty$ , $\ln\left ( \dfrac{n}{2^{\sqrt{n}}}\right )\to -\infty $ Así que $\displaystyle \lim_{n\rightarrow \infty }\sqrt{n}\cdot \ln\left ( \frac{n}{2^{\sqrt{n}}}\right )\to -\infty$ Por lo tanto $$\lim_{n\rightarrow \infty }\frac{n^{\sqrt{n}}}{2^{n}}=0$$

Answer 2

No es cierto que $n^{1/\sqrt{n}}\rightarrow 0$ . En realidad va a $1$ ya que puedes escribirlo $$e^{\log(n)/\sqrt{n}}$$ y el exponente pasa a $0$ .

Pero la conclusión de que $(2/1)^n\rightarrow\infty$ se mantiene (por lo que su límite original, que era el recíproco, es cero).

Answer 3

Consideremos la secuencia definida por :

$$u_n=\frac{n^\sqrt n}{2^n}$$

y luego calcular :

$$\ln(u_n)=\sqrt n\ln(n)-n\ln(2)$$

Factorización por el término principal :

$$\ln(u_n)=n\left(\frac{\ln(n)}{\sqrt n}-\ln(2)\right)$$

Es bien sabido que $\lim_{t\to\infty}\frac{\ln(t)}{t}=0$ Así que..:

$$\frac{\ln(n)}{\sqrt n}=2\frac{\ln(\sqrt n)}{\sqrt n}\underset{n\to\infty}{\longrightarrow}0$$

por lo tanto :

$$\lim_{n\to\infty}\ln(u_n)=-\infty$$

y finalmente, por continuidad de la función exponencial :

$$\boxed{\lim_{n\to\infty}u_n=0}$$

Answer 4

Puedes también escribir $2^n = \left(2^{\sqrt{n}}\right)^{\sqrt{n}}\implies a_n = \left(\dfrac{n}{2^{\sqrt{n}}}\right)^{\sqrt{n}}$ y puedes mostrar $2^{\sqrt{n}} > (\sqrt{n})^3=n\sqrt{n}\implies \dfrac{n}{2^{\sqrt{n}}} < \dfrac{1}{\sqrt{n}}$ y la respuesta de $0$ seguirá.

Answer 5

$${n^{\sqrt n}\over 2^n}=e^{\sqrt n\ln n-n\ln2}$$

por lo que el comportamiento de la secuencia se reduce al comportamiento de $\sqrt n\ln n-n\ln2$ . Es conveniente sustituir $n$ con $n^2$ , lo que da $2n\ln n-n^2\ln2$ . Desde $\ln n\lt{1\over4}n$ para $n\gt$ algo, tenemos $2n\ln n-n^2\ln2\lt({1\over2}-\ln2)n^2\to-\infty$ como $n\to\infty$ ya que ${1\over2}\lt\ln2$ . De ello se desprende que $n^{\sqrt n}/2^n\to0$ .