¿Un diffeomorphism entre los interiores de las dos variedades se extiende a los colectores?

Question

Sea $M,N$ múltiples con límite. Que $f:\mathring{M}\to \mathring{N}$ sea un diffeomorphism de sus interiores. ¿Se extiende a un diffeomorphism $M\to N$?

¿Supongo podemos mirar el problema localmente, y entonces el problema es: si abrimos $U,V\subset \mathbb{H}^n$ juegos en medio espacio, se extiende un diffeomorphism $f:\mathring{U}\to \mathring{V}$ a un diffeomorphism $f:U\to V$?

EDIT: ya que la respuesta es negativa, ahora pregunto: ¿Cuáles son las condiciones suficientes para la afirmación de ser cierto?

Answer 1

Tomar el mapa de inversión en $(0, \infty)$ dado en $f(x) = \frac{1}{x}$. Es diferenciable con inversa diferenciable pero no se puede extender para encontrar $f(0)$

Answer 2

Considerar $M = N = [0, \infty)$ y $$f: (0, \infty) \longrightarrow (0, \infty),$ $ $$x \mapsto \frac{1}{x}.$$ $f$ es un diffeomorphism que ni siquiera tiene una extensión continua de todos los $M = [0, \infty)$.