Estimador de máxima verosimilitud para$X_1,\dots, X_n \; \sim U(-\theta,\theta)$

Question

Ejercicio :

Calcular un Estimador de Máxima Verosimilitud para el modelo de $X_1,\dots, X_n \; \sim U(-\theta,\theta)$.

Solución :

La función de distribución de $f(x)$ para el modelo Uniforme es :

$$f(x) = \begin{cases} 1/2\theta, \; \; -\theta \leq x \leq \theta \\ 0 \quad \; \; , \quad\text{elsewhere} \end{cases}$$

Por lo tanto, podemos calcular la probabilidad de la función como :

$$L(\theta)=\bigg(\frac{1}{2\theta}\bigg)^n\prod_{i=1}^n\mathbb I_{[-\theta,\theta]}(x_i)= \bigg(\frac{1}{2\theta}\bigg)^n\prod_{i=1}^n \mathbb I_{[0,\theta]}(|x_i|) $$

$$=$$

$$\bigg(\frac{1}{2\theta}\bigg)^n\prod_{i=1}^n \mathbb I_{[-\infty,\theta]}(|x_i|)\prod_{i=1}^n \mathbb I_{[0, +\infty]}(|x_i|)$$

$$=$$

$$\boxed{\bigg(\frac{1}{2\theta}\bigg)^n\prod_{i=1}^n \mathbb I_{[-\infty,\theta]}(\max|x_i|)}$$

Pregunta : ¿Cómo hace uno para derivar la expresión final en el cuadro de la anterior ? Me parece que no puede entender la forma en que este es igual que el paso anterior.

Aparte de eso, para encontrar el estimador de máxima verosimilitud usted necesita un $\theta$ suficientemente pequeño, pero también a$\max |x_i| \leq \theta$, lo que significa que el MLE es : $\hat{\theta} = \max |x_i|$.

Answer 1

No entiendo su solución, así que me estoy haciendo a mí mismo aquí.

Suponga $\theta > 0$. Establecimiento $y_i = |x_i|$$i = 1, \dots, n$, tenemos

$$\begin{align} L(\theta)=\prod_{i=1}^{n}f_{X_i}(x_i)&=\prod_{i=1}^{n}\left(\dfrac{1}{2\theta}\right)\mathbb{I}_{[-\theta, \theta]}(x_i) \\ &=\left(\dfrac{1}{2\theta}\right)^n\prod_{i=1}^{n}\mathbb{I}_{[-\theta, \theta]}(x_i) \\ &= \left(\dfrac{1}{2\theta}\right)^n\prod_{i=1}^{n}\mathbb{I}_{[0, \theta]}(|x_i|) \\ &= \left(\dfrac{1}{2\theta}\right)^n\prod_{i=1}^{n}\mathbb{I}_{[0, \theta]}(y_i)\text{.} \end{align}$$ Suponga que $y_i \in [0, \theta]$ para todos los $i = 1, \dots, n$ (de lo contrario $L(\theta) = 0$ porque $\mathbb{I}_{[0, \theta]}(y_j) = 0$ durante al menos un $j$, lo que, obviamente, no produce el máximo valor de $L$). Entonces yo reclamo las siguientes:

La reclamación. $y_1, \dots, y_n \in [0, \theta]$ si y sólo si $\max_{1 \leq i \leq n}y_i = y_{(n)} \leq \theta$$\min_{1 \leq i \leq n}y_i = y_{(1)}\geq 0$.

Os dejo la prueba. De la afirmación anterior y observando que $y_{(1)} \leq y_{(n)}$, tenemos $$L(\theta) = \left(\dfrac{1}{2\theta}\right)^n\prod_{i=1}^{n}\mathbb{I}_{[0, \theta]}(y_i) = \left(\dfrac{1}{2\theta}\right)^n\mathbb{I}_{[0, y_{(n)}]}(y_{(1)})\mathbb{I}_{[y_{(1)}, \theta]}(y_{(n)}) \text{.}$$ Viendo esto como una función de $\theta > 0$, podemos ver que $\left(\dfrac{1}{2\theta}\right)^n$ está disminuyendo con respecto a $\theta$. Por lo tanto, $\theta$ debe ser tan pequeña como sea posible para maximizar $L$. Además, el producto de los indicadores de $$\mathbb{I}_{[0, y_{(n)}]}(y_{(1)})\mathbb{I}_{[y_{(1)}, \theta]}(y_{(n)}) $$ va a ser distinto de cero si y sólo si $\theta > y_{(n)}$. Desde $y_{(n)}$ es el valor más pequeño de $\theta$, tenemos $$\hat{\theta}_{\text{MLE}} = y_{(n)} = \max_{1 \leq i \leq n} y_i = \max_{1 \leq i \leq n }|x_i|\text{,}$$ como se desee.

Answer 2

Tenemos:$$\bigg(\frac{1}{2\theta}\bigg)^n\prod_{i=1}^n \mathbb I_{[-\infty,\theta]}(|x_i|)\prod_{i=1}^n \mathbb I_{[θ, +\infty]}(|x_i|)$ $ y no$$\bigg(\frac{1}{2\theta}\bigg)^n\prod_{i=1}^n \mathbb I_{[-\infty,\theta]}(|x_i|)\prod_{i=1}^n \mathbb I_{[0, +\infty]}(|x_i|)$ $ antes de la expresión final en el cuadro. Entonces, como podemos ver$$\prod_{i=1}^n \mathbb I_{[θ, +\infty]}(|x_i|)=0$ $