Ejercicio 5 10 en Isaacs ' teoría de grupos finitos

Question

Problema: Supongamos que $G$ es simple de grupo y un subgrupo abelian Sylow $2-$ $8$ de la orden. Mostrar que el orden de $G$ es divisible por $7$.

¿Hay alguna sugerencia para solucionar este problema? Voy a ser feliz si uno da una respuesta.

Aquí está mi comienzo:

Que $|G| = 8k$ $2\nmid k$. Entonces el $n_2 = 1 \mod 2$ y $n\mid k$. Dado que es sencillo, $G$ $n_2 \neq 1$. Después de han pegado.

Answer 1

Isaacs Prop 5.18 afirma que cuando $G$ es un grupo finito con un abelian Sylow $p$-subgrupo $P$,$Z(N_G(P)) \cap G' \cap P = 1$. En nuestro caso $G=G'$ así que tenemos que $Z(N_G(P)) \cap P = 1$. De curso $Z(N_G(P)) \cap P = C_P( N_G(P))$ son exactamente los elementos de $P$ que se quedan solos por cada conjugación de $N_G(P)$.

Desde el grupo de la conjugación de $N_G(P)$ es exactamente $N_G(P)/C_G(P) \leq \newcommand{\Aut}{\operatorname{Aut}}\Aut(P)$, y desde $P \leq C_G(P)$, de modo que $N_G(P)/C_G(P)$ debe ser un grupo de orden impar, estamos interesados en el extraño orden de los subgrupos de $\Aut(P)$ $P$ un grupo abelian de orden 8.

Si $P=C_8$ $\Aut(P) \cong C_2 \times C_2$ no tiene no-identidad de los subgrupos de orden impar, por lo $N_G(P)/C_G(P) = 1$$N_G(P) = C_G(P)$$C_P( N_G(P)) = P \neq 1$. Oops.

Si $P=C_4 \times C_2$ $\Aut(P) \cong D_8$ no tiene no-identidad de los subgrupos de orden impar, por lo que ay de nuevo.

Si $P=C_2 \times C_2 \times C_2$ $\Aut(P) \cong \operatorname{GL}(3,2)$ tiene impar fin de subgrupos de órdenes 1, 3, 7 y 21. Los de órdenes 1 y 3 centralizar algunos de los elementos de identidad de $P$, por lo uy. Los de las órdenes de 7 y 21 están bien.

El uno de la orden de 7 crea lo que se denomina AGL(1,8) fusión y produce el simple grupo de PSL(2,8). El uno de la orden de 21 crea lo que se denomina AΓL(1,8) fusión y produce el simple grupo J1 y ${}^2G_2(3^{2n+1})$$n \geq 1$.

Answer 2

Solución: Que $P$ sea un subgrupo abelian Sylow $2−$ del simple grupo $G$. Si un Sylow $2−$ subgrupo de un grupo simple es abeliano, entonces debe ser abelian elemental. Así, $P \cong {Z_2} \times {Z_2} \times {Z2}$. Recordemos que para el grupo abelian elementales $G$ % orden ${p^n}$, $Aut\left( G \right) \cong GL\left( {n,p} \right)$. Tenga en cuenta que $\left| {GL\left( {n,p} \right)} \right| = \prod\limits{i = 0}^{n - 1} {\left( {{p^n} - {p^i}} \right)} $. Así, $\left| {Aut\left( P \right)} \right| = 7.6.4 = 168$. También tenga en cuenta que $\frac{{{N_G}\left( P \right)}}{{{C_G}\left( P \right)}} \cong Aut\left( P \right)$ $ \Rightarrow $ $\left| {{N_G}\left( P \right)} \right| = \left| {{C_G}\left( P \right)} \right|.\left| {Aut\left( P \right)} \right| = \left| {{C_G}\left( P \right)} \right|.168$. Por lo tanto, $\left. 7 \right|\left| {{N_G}\left( P \right)} \right|$. Por Langrange, hemos terminado.