No orientable 3-variedad infinita grupo fundamental de la

Question

Estoy haciendo exámenes de años anteriores para un primer curso en topología algebraica.

La pregunta es:

Deje $M$ 3 dimensiones, cerrado, conectado, no orientable colector. Mostrar que $M$ tiene infinitas grupo fundamental.

Es allí cualquier manera de responder a esta pregunta sin simplemente citando una clasificación teorema de las 3-variedades con finito grupo fundamental?

Answer 1

$\def\QQ{\mathbb Q}$Si $\pi_1(M)$ es finito, $H_1(M;\QQ)=0$. Si $M$ es no orientable, $H_3(M;\QQ)=0$. Por lo $\chi(M)=h_0(M;\QQ)-h_1(M;\QQ)+h_2(M;\QQ)-h_3(M;\QQ)=1+h_2(M;\QQ)>0$.

Pero por la dualidad de Poincaré, cualquier extraño dimensiones del colector de cero, con una característica de Euler.