Demostración de la existencia de un valor propio común mediante las propiedades del subespacio invariante

Question

Dejemos que $T: \Bbb R^n \rightarrow \Bbb R^n$ sea una transformación lineal tal que cada subespacio $U \subseteq V$ de dimensión $n-1$ es $T$ -invariante.

Quiero demostrar que existe un $\lambda$ tal que para cada $v \in \Bbb R^n$ entonces $Tv = \lambda v$ .

Conseguí demostrar que todo vector es un vector propio, pero me quedé un poco atascado ahí, quizás este no es el camino que debería tomar...

Se agradece cualquier ayuda.

Answer 1

Tome $n=3$ para aliviar un poco la notación. Dejemos que $\{e_1,e_2,e_3\}$ sea una base para $\mathbb R^3$ .

Dejemos que $V = \mathrm{span} \{e_1,e_2\}$ y $W = \mathrm{span}\{e_1,e_3\}$ . Desde $V$ y $W$ son $T$ -invariante hay constantes $\alpha,\beta,\gamma,\delta$ con $$Te_1 = \alpha e_1 + \beta e_2$$ y $$Te_1 = \gamma e_1 + \delta e_3.$$ De ello se desprende que $\beta = \delta = 0$ y $ \alpha = \gamma$ para que $Te_1 = \alpha_1e_1$ para $\alpha_1 = \alpha$ . Por supuesto, también existen $\alpha_2$ y $\alpha_3$ para que $Te_2 = \alpha_2 e_2$ y $Te_3 = \alpha_3 e_3$ .

Ahora dejemos que $U = \mathrm{span} \{e_1 + e_2, e_1+e_3\}$ . Invocando de nuevo la invariabilidad, hay constantes $\epsilon, \zeta$ tal que $$T(e_1+e_2) = \epsilon(e_1+e_2) + \zeta(e_1 + e_3)$$ sino también por el argumento anterior $T(e_1 + e_2) = \alpha_1 e_1 + \alpha_2 e_2$ . Así, $\zeta = 0$ y en consecuencia $\alpha_1 = \epsilon$ y $\alpha_2 = \epsilon$ . En particular $\alpha_1 = \alpha_2$ .

Un argumento muy similar muestra $\alpha_1 = \alpha_3$ para que $\alpha_1=\alpha_2=\alpha_3 = \alpha$ y por lo tanto $Te_i = \alpha e_i$ para cada $i=1,2,3$ . De ello se desprende que $Tv = \alpha v$ para todos $v$ .

Generalizar a $n \not= 3$ no es difícil, pero la notación se volverá tediosa. Seguro que no te importa que te lo deje a ti.

Answer 2

Consideremos el producto interior estándar sobre $\mathbb{R}^n$ .

Reclamación:

Si $W \subseteq \mathbb{R}^n$ es un $T$ -subespacio invariable, entonces $W^\perp$ es un $T^t$ -invariante del subespacio.

Prueba: Sea $v \in W^\perp$ . Para cualquier $w \in W$ tenemos $$\langle T^tv,w\rangle = \langle v,Tw\rangle = 0$$ porque $Tw \in W$ . Por lo tanto, $T^tv \in W^\perp$ .

Ahora dejemos que $v \in \mathbb{R}^n, v \ne 0$ sea arbitraria. El subespacio $U = \{v\}^\perp$ es $(n-1)$ -dimiento, por lo que es $T$ -invariante. Por lo tanto, $\operatorname{span}\{v\} = U^\perp$ es $T^t$ -invariante, lo que significa que $T^tv = \lambda v$ para algunos $\lambda \in \mathbb{R}$ .

Consideremos el vector base estándar $e_1, \ldots, e_n$ y que $T^te_i = \lambda_i e_i$ . También $\exists \lambda \in \mathbb{R}$ tal que $$\lambda(e_1+\cdots + e_n) = T^t(e_1+\cdots + e_n) = T^te_1 + \cdots + T^te_n = \lambda_1e_1 + \cdots + \lambda_ne_n$$

Desde $e_1, \ldots, e_n$ son linealmente independientes, concluimos que $\lambda = \lambda_1 = \cdots = \lambda_n$ así que $T^t =\lambda I$ .

Pero, por supuesto, también tenemos $T = \lambda I$ .