¿Por qué Lang describe un campo como la unión y composición de sus subcampos de esta manera?

Question

Estoy leyendo el libro de Serge Lang Álgebra En la página 226, el autor hace las siguientes definiciones y observaciones:

1. Si $E,F \subset L$ El compositum de $E$ y $F$ en $L$ se define como el subcampo más pequeño de $L$ que contiene tanto $E$ y $F$ . Se denomina $EF$ .
2. Si $k \subset E$ y $\alpha_1,\dots,\alpha_n \in E$ entonces $k(\alpha_1,\dots,\alpha_n)$ se define como el subcampo más pequeño de $E$ que contiene $k$ y $\alpha_1,\dots,\alpha_n$ .
3. Observe que $$ E = \bigcup k(\alpha_1,\dots,\alpha_n), $$ donde la unión se toma sobre todas las familias finitas $\{ \alpha_1,\dots,\alpha_n \}$ de elementos de $E$ .
4. El compositum de una familia arbitraria de subcampos de un campo $L$ se define como el subcampo más pequeño de $L$ que contiene todos los campos de la familia.
5. $E$ es generado finitamente en $k$ si existe una familia finita $\{ \alpha_1,\dots,\alpha_n \}$ de elementos de $E$ tal que $E = k(\alpha_1,\dots,\alpha_n)$ .
6. Observe que $E$ es el compositum de todos sus subcampos finitamente generados sobre $k$ .

Mi pregunta se refiere a las dos observaciones (puntos 3 y 6). Me parece que basta con tomar la unión (y el compositum) sobre todos los subcampos generados por un mismo elemento. Por ejemplo, para el punto nº 3, puedo escribir $$ E = \bigcup_{\alpha \in E} k(\alpha) $$ porque $E$ está claramente contenida en el RHS, y cada $k(\alpha)$ está contenida en $E$ y por lo tanto también lo es la unión, lo que implica que $E$ contiene el RHS. De forma similar para el punto nº 6.

Entonces, ¿por qué Lang hace hincapié en tomar la unión y el compositum sobre todos los subcampos finitamente generados? ¿Hay alguna perspectiva en la que quiera hacer hincapié que yo no haya entendido? Se agradecerá cualquier ayuda para entender esto.

Answer 1

Intento resumir algunos de los comentarios: El problema de considerar simples subextensiones de $E/k$ , por lo que de la forma $k(a)$ para algunos $a\in E$ es que no forman un conjunto filtrado: no es cierto que dadas dos extensiones simples, digamos $k(a)$ y $k(b)$ existe un $c\in E$ tal que $k(a),k(b)\subset k(c)$ .

Si la extensión $E/k$ es finito pero contiene infinitas subextensiones (por lo que no es separable), entonces no es simple (por la teorema del elemento primitivo ).

Por ejemplo, si $E=L(t,s)$ y $k=L(t^p,s^p)$ y $L$ es de la característica $p$ . En este caso, aunque $E=\bigcup_{a\in E} k(a)$ se necesitan infinitos elementos en la unión para obtener $E$ . Pero $E$ se genera de forma finita, por lo que con un solo elemento ya está hecho.

Lo mismo ocurre con las extensiones trascendentales: si $E=k(t,s)$ y $t$ y $s$ son algebraicamente independientes, entonces $E/k$ no es una simple extensión.

¿Por qué necesita que el conjunto esté filtrado? La razón es que entonces se puede construir el límite directo de forma abstracta. Y luego demostrar que este límite directo es el inicial $E$ . Así que es posible que el resultado que tenía en mente fuera el siguiente.

Resultado : Para cualquier extensión $E/k$ Consideremos el sistema directo de subextensiones finitamente generadas de $E/k$ . Entonces $E$ es isomorfo al límite directo de este sistema.

Por lo tanto, incluso es difícil saber por qué algunas personas hacen algo, y especialmente si esta gente es Serge Lang (que hizo algunas cosas raras), me parece natural que le gustara el sistema de extensiones para considerar que es un filtrado.