¿Variación del teorema del residuo?

Question

El teorema del residuo puede enunciarse informalmente como $$\oint_C f(z)dz=2\pi i\sum a_{-1}$$ Una integral de contorno suma todas las $-1$ coeficientes en el interior.

Entonces, uno se preguntaría naturalmente:

¿Hay algo como $$\text{something of }f(z)=\sum a_{-2}$$ donde $\text{something}$ es una especie de operador?

Me encuentro con dificultades ya que el teorema del residuo hace uso del hecho de que $\frac1{z-c}$ no tiene antiderivada, pero $\frac1{(z-c)^2}$ tiene una antiderivada, por lo que no se puede utilizar el mismo truco.

¿Alguna idea?

EDITAR:

La respuesta de @David C. Ullrich descarta algunas posibilidades. Sin embargo, no estoy desesperado: Todavía tengo la esperanza de que puedan existir algunos operadores $\operatorname{P}$ eso:

1. sólo requiere información de $f(z)$ a lo largo de un contorno $\gamma$
2. $$\operatorname{P}_\gamma[f(z)]=\sum_{\text{all poles included}} a_{-2}$$ donde $a_{-2}$ es el coeficiente de $z^{-2}$ de la expansión de Laurent de $f(z)$ alrededor del poste.

( $f(z)$ se puede suponer que es meromorfa en $\mathbb C$ .)

Por lo tanto, inicié una recompensa para llamar más la atención.

Answer 1

Varias sugerencias positivas en los comentarios dependen, por ejemplo, de saber dónde están todos los polos. No se trata de un teorema de los residuos; un análogo de la RT daría, para el disco, una medida compleja $\mu$ en $|z|=1$ tal que $\int_{|z|=1}f\,d\mu$ es igual a la suma de los $a_{-2}$ en todos los polos. Sin más información que los valores de $f$ en el límite, es el punto.

No existe tal medida. Tomando $f(z)=z^n$ para $n\in\Bbb Z$ te dice cuáles son los coeficientes de Fourier de $\mu$ sería, y se deduce que la única $\mu$ que podría funcionar es la definida por $$\int_{|z|=1}f(z)\,d\mu=\frac1{2\pi i}\int_{|z|=1}zf(z)\,dz.$$

Pero eso da una respuesta equivocada para otros $f$ por ejemplo $f(z)=1/(z-1/2)$ .

Con más detalle: En primer lugar, está claro que $$\frac1{2\pi i}\int_{|z|=1}z\cdot z^n\,dz=\begin{cases}1,&(n=-2), \\0,&(n\ne-2).\end{cases}$$

Supongamos ahora que $\mu$ "obras". Entonces tenemos $\int_{|z|=1}f(z)\,d\mu=\frac1{2\pi i}\int_{|z|=1}zf(z)\,dz$ si $f(z)=z^n$ . Como los polinomios trigonométricos son uniformemente densos en las funciones continuas sobre el círculo, se deduce que $$\int_{|z|=1}f(z)\,d\mu=\frac1{2\pi i}\int_{|z|=1}zf(z)\,dz$$ por cada $f$ continua en el círculo unitario.

Pero ahora dejemos $f(z)=1/(z-1/2)$ . De ello se desprende que $$\int_{|z|=1}f(z)\,d\mu=\frac1{2\pi i}\int_{|z|=1}zf(z)\,dz\ne0,$$ por el Teorema del Residuo real. Pero $\sum a_{-2}=0$ Así que $\mu$ no funciona para esto $f$ .