Prueba de que si $n^2-1$ es divisible por $8$ entonces $n$ es impar

Question

Todavía soy muy nuevo en las demostraciones. Estoy practicando, ya que aún tengo problemas con los conceptos. Cualquier comentario sería muy apreciado. Gracias de antemano.

Afirmación: Si $n^2-1$ es divisible por $8$, entonces $n$ es impar.

Prueba: Supongamos que $n$ es par; es decir, $n=2k$, para algún $k \in \mathbb{Z}$. Entonces, $n^2-1 = (2k)^2-1$, lo cual es impar. Por lo tanto, $n$ debe ser impar y, por lo tanto, contradice nuestra suposición de que $n$ es par.

Esta es mi segunda demostración en práctica en la que estoy trabajando, ¡así que por favor sé amable! Todavía estoy aprendiendo la lógica y trabajando en las demostraciones lentamente. Cualquier comentario, consejo o sugerencia sería muy apreciado. ¡Gracias!

Answer 1

En su problema, la prueba por contradicción funciona de la siguiente manera:

(Hipótesis) Supongamos que 8 divide a $n^2-1$.

(Suposición) Vamos a suponer que $n$ es par.

$n$ es par $\implies$ $n=2k$ para algún $k \in \mathbb{Z}$

Entonces, $n^2-1 = (2k)^2-1

$n^2-1 = 2(2k^2)-1 \implies n^2-1$ es un número impar.

$n^2-1$ es impar $\implies$ 8 no divide a $n^2-1

¡Contradicción! Es decir, asumir que n es par contradice nuestra hipótesis (es decir, $n^2-1$ es divisible por 8).

Entonces nuestra suposición es incorrecta. Esto significa que $n$ tiene que ser impar.

Alternativamente, podemos probar la contrapositiva (es decir, probar $A\implies B$ es equivalente a probar $\neg B \implies \neg A$ ). Esto funciona de la siguiente manera en su caso:

Supongamos que $n$ es par.

Entonces, $n = 2k$ para algún $k \in \mathbb{Z}$

$\implies$ $n^2-1 = (2k)^2-1

$\implies$ $n^2-1 = 2(2k^2)-1

$\implies$ $n^2-1$ es impar.

$\implies$ $n^2-1$ no es divisible por 8.

Así, hemos demostrado lo siguiente: $n$ no es impar $\implies$ $n^2-1$ no es divisible por 8, lo cual es equivalente a demostrar lo siguiente: $n^2-1$ es divisible por 8 $\implies$ $n$ es impar.

Answer 2

Sí $8$, como número par, no puede dividir a otro número a menos que ese número también sea par. (Porque el número sería entonces múltiplo de $8$, que a su vez es múltiplo de $2$; por lo tanto, el número también sería múltiplo de $2$, es decir, par)

Pero, como has demostrado, $n$ par implica que $n^2-1$ es impar.

Tu demostración, sin embargo, no menciona la divisibilidad por $8$ y lo que implica; además de dar vueltas innecesariamente al final. Lo que quiero decir es que una vez que obtienes que $n$ es impar, deberías terminar (no es necesario agregar una contradicción encima de eso; es lo que querías probar). Pero, eso no viene al caso, porque, como mencioné, tu demostración estaba incompleta... Aguanta y se volverá más fácil...

Answer 3

Supongamos, para el contrario, que $n$ es par. Es decir, $n = 2k$ para algún entero $k$.

Entonces

$$n^2 - 1 = (2k)^2 - 1 = 2(2k^2) - 1$$

Se nota que este es un número impar que claramente no es divisible por $8$ (un número par).

Answer 4

También puedes probar esto mediante el enfoque directo. Nota que si $n^2-1$ es divisible por $8$, entonces $n^2-1=8k$ para algún entero $k$. Entonces $n^2=8k+1=2(4k)+1$. Al dejar $4k=j$ nos da $n^2=2j+1$ que es un número impar. Ya que $n^2$ es impar, se sigue que $n$ también debe ser impar. (Q.E.D.)

¡Espero que esto realmente te ayude! :)

Answer 5

Como has utilizado la etiqueta teoría número, la solución con aritmética modular: $n^2-1\equiv 0\pmod{8}$ or, $n^2\equiv 1\pmod{8}$, si $n$ es par entonces necesitamos verificar dos casos, $n=2k$, con $(2,k)=1$ y $n=2^t\cdot m$ para $t\ge 2$. Si $n=2k$ entonces, $n^2\equiv 4k^2\equiv 1\pmod{8}$ implica $k^2\equiv 4^{-1}\pmod{8}$, ya que, $4$ no tiene inverso $\pmod{8}$, la ecuación no puede cumplirse con ningún $n=2k$ y para $t\ge 2$,$n=2^t\cdot m,n^2\equiv 0\pmod{8}$. Ahora, si $n$ es impar, $$n^2\equiv 4p^2+4p+1\equiv 4p(p+1)+1\equiv 1\pmod{8}$$ ya que $p(p+1)\equiv 0\pmod{2}$ para cualquier $p\in \mathbb{N}$. Hecho. $\boxed{}$