es invertible.

Question

Estoy teniendo problemas para probar que, para $m, n \in \mathbb{Z}$, la existencia de un inverso multiplicativo de a $m + n \sqrt{2}$ implica que el $m^2 - 2n^2 = \pm 1$.

El primer paso, creo yo, es para resolver la inversa, que es claramente $\frac{1}{m + n\sqrt{2}}$, siempre que $m +n \sqrt{2}$ $m + n \sqrt{2}$ lo haría de otra manera que no sea invertible. A partir de aquí, estoy seguro sobre cómo armar las piezas de esta prueba. He leído a través de algunos consejos sobre la otra respuesta aquí, por lo que parece que una plausible paso es utilizar el hecho de que $m^2 - 2n^2$ es una diferencia de cuadrados y factores en $(m - \sqrt{2} n)(m + \sqrt{2}n)$. Uno de estos factores es invertible, pero no tenemos ninguna información sobre si es el conjugado es, o la capacidad para igualar el producto con, digamos, $1$ o $-1$, por lo que no puedo averiguar cómo llegar allí.

En la dirección opuesta, el primer paso parece ser el factoring en $(m + n \sqrt{2})(m - n \sqrt{2}) = \pm 1$. Si este producto es igual a$1$,, $m - n \sqrt{2}$ es claramente la inversa de a $m + n \sqrt{2}$, ya que nos encontramos con un producto de $1$. Si no, podríamos escala de ambos lados por $-1$, lo que nos debe de dar la misma inversa.

Cualquier pensamientos de ayuda y sugerencia swould ser muy apreciado.

Answer 1

Como dijiste, el único candidato para el inverso es claramente$\frac1{m+n\sqrt{2}}$.

Tenemos

ps

Este es un elemento de$$\frac1{m+n\sqrt{2}} = \frac{m-n\sqrt{2}}{m^2-2n^2} = \frac{m}{m^2-2n^2} + \frac{-n}{m^2-2n^2}\sqrt{2}$ si y solo si both$\mathbb{Z}[\sqrt{2}]$ y$\frac{m}{m^2-2n^2}$ están en$\frac{-n}{m^2-2n^2}$.

Dejar $\mathbb{Z}$. Supongamos que$d = \gcd(m,n)$ y$m^2-2n^2 \mid m$. Después también $m^2-2n^2 \mid n$. Por otro lado,$m^2-2n^2 \mid d$ y$d \mid m$ so$d \mid n$. Por lo tanto asi $d^2 \mid m^2-2n^2$.

Por lo tanto, si$d^2 \mid d$ entonces$d = 1$ divide$\frac{m}{m^2-2n^2}, \frac{-n}{m^2-2n^2} \in \mathbb{Z}$ entonces concluimos$m^2-2n^2$.

Answer 2

Presentar el mapa de $\nu :A=\mathbb Z[\sqrt 2]\to \mathbb Z$ tal que $\nu(a+b\sqrt 2) = a^2-2b^2$, llamemos a esto la norma mapa. Entonces yo reclamo que $\nu$ es multiplicativa (ejercicio, y la parte más importante de todo esto prueba, de verdad!). Ahora supongamos que $x$ es invertible en a $A$, por lo que no es $y$ tal que $xy=1$. La aplicación de $\nu$, podemos ver que $\nu(x)$ es una unidad en $\mathbb Z$. Desde las unidades en este anillo se $1$$-1$, hemos demostrado que

Si $x$ es una unidad en $A$, $\nu(x)$ es una unidad en $\mathbb Z$, es decir,$\pm 1$.

Ahora quiere probar a la inversa de la anterior. Por lo tanto suponer que la norma es una unidad. Si $x=a+b\sqrt 2$, vamos a $\bar x=a-b\sqrt 2$, el conjugado de a $x$. A continuación,$x\bar x=\nu(x)$, y desde $\nu(x)$$\pm 1$, vemos que el inverso de a $x$ es simplemente $\nu(x) \bar x$.

Answer 3

Aquí hay una toma diferente.

El anillo$\mathbb Z[\sqrt 2]$ es isomorfo a una subring de$M_2(\mathbb Z)$, el anillo de$2 \times 2$ matrices de enteros: $$ \ phi: m + n \ sqrt 2 \ mapsto \ pmatrix {m & 2n \ \ n & m} $$ Entonces,$m + n \sqrt 2$ es invertible si f$\phi(m + n \sqrt 2)$ es invertible si f$\det\phi(m + n \sqrt 2)$ es invertible si f$\det\phi(m + n \sqrt 2)=\pm 1$.

El isomorfismo$\phi$ proviene de los mapas$\mu : x \mapsto x (m + n \sqrt 2)$ en$\mathbb Z$ - basis$1,\sqrt 2$.