Caminando a través de su intento:
Reclamación: Para todos los enteros $n$ : si $7n+4$ es par, entonces $5n+6$ está en paz.
Prueba: Supongamos que $5n+6$ es impar.
Normalmente se prueba $P_a\Rightarrow P_b$ se empezaría por suponer $P_a$ . Aquí estás asumiendo $\lnot P_b$ , sugiriendo que quieres demostrar el contrapositivo, $\ \lnot P_b\Rightarrow \lnot P_a,$ lo que equivale a $P_a\Rightarrow P_b$ . Pero hay que entender a dónde se quiere llegar.
Si $5n+6$ es impar, entonces $5n+6=2k+7 \ldots$
Esto es inusual - sería más habitual decir $5n+6=2k+1 $
$\Rightarrow 5n=2k+1$ para algunos $n,k \in \mathbb{Z}$ .
Que sería entonces $\Rightarrow 5n=2k-5$ .
Si $7n+4$ está en paz,
Después de haber empezado con el contrapositivo, ahora se ha cambiado... tal vez con el propósito de la contradicción, pero está empezando a ser difícil de seguir.
entonces $7n+4=2k$ para algunos $k \in \mathbb{Z}$ .
No debe reutilizar $k$ . Diremos $7n+4=2m$ para algunos $m\in \Bbb Z$ . Este fue su principal error.
Por lo tanto, $5n=7n+4+1$
No es cierto. Este es el resultado de reutilizar $k$ de manera inapropiada.
$\Rightarrow 2n=-5$ para algunos $n \in \mathbb{Z}$ . Claramente, $2n \neq -5$ lo que contradice nuestra suposición de que $5n+6$ es impar.
En realidad, si esto fuera válido, debería contradecir su más tarde declaración que $7n+4$ es par, lo que te pone en camino de demostrar el contrapositivo.
En esta ocasión, no es necesario entrar en la prueba al revés. Es bastante fácil empezar con la premisa:
Tomando $\mathit{ 7n+4}$ como par, tenemos $\mathit{ 7n+4=2m}$ para algunos $\mathit{ m\in \Bbb Z}$ . Entonces $\mathit{ 5n+6 = (7n-2n+4+2) = 2m-2n+2 = 2(m-n+1)}$ y como $\mathit{ (m-n+1)\in \Bbb Z}$ tenemos ${\mathit 5n+6}$ está en paz.
