Hace la función de $\dfrac{x^a e^{-x}}{\Gamma(a+1)}$ tener su propio nombre específico?
Temme [1] presentó la función en (3.1) $$D(a,x) = \frac{x^a e^{-x}}{\Gamma(a+1)}.$$ Es la parte dominante en muchas de las representaciones de la gamma incompleta funciones (su correspondiente Algol función se denomina dax).
Antes DiDonato y Morris [2] llamó a $R(a,x)$.
Estrechamente relacionada con la función que se llama regularised_gamma_prefix en el Impulso de la biblioteca.
No he encontrado un 'nombre' para esta función. Hay más referencias?
[1] N. M. Temme, Un Conjunto de Algoritmos para la Gamma Incompleta Funciones de Probabilidad en la Ingeniería y el Informativo de las Ciencias, 8 (1994), pp 291-307. Disponible como https://ir.cwi.nl/pub/10080/10080D.pdf
[2] A. R. DiDonato, A. H. Morris, el Cálculo de la Función Gamma Incompleta Proporciones y su Inversa. ACM TOMS, Vol 12, Nº 4, Diciembre 1986, pp 377-393.
Respuesta
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Usted puede ver se llama la función de densidad de probabilidad de una distribución gamma. Que es la restricción de esta función para el intervalo de $[0,+\infty).$ Esta distribución es que de la suma de $a+1$ independiente de variables aleatorias en cada uno de los cuales es exponencialmente distribuida, de modo que la probabilidad de que sea mayor que $x$ $e^{-x}$ $x\ge0.$
Uno más a menudo se ve escrito como $\dfrac{x^{\alpha-1} e^{-x}}{\Gamma(\alpha)}.$ de Que manera $\alpha$ es el número de exponencialmente distribuido variables aleatorias que se agregan.
Entre esas distribuciones de probabilidad se llama gamma distribuciones también encontramos casos en los que un parámetro de escala está presente, por lo tanto: $$ \frac {\left( x/\mu \right)^{\alpha-1} e^{-x/\mu}} {\Gamma(\alpha)} \left( \frac {dx} \mu\right) \text{ para } x\ge0. \etiqueta{$\mu$} $$ A veces es parametrizar mediante el recíproco del parámetro de escala, $\lambda= \dfrac 1 \mu{:}$ $$ \frac{(\lambda x)^{\alpha-1} e^{-\lambda x}}{\Gamma(\alpha)} (\lambda \, dx). \etiqueta{$\lambda$} $$
Puede ser que $\alpha$ no es un entero positivo, en cuyo caso la declaración sobre la suma de $\alpha$ variables aleatorias puede parecer no tener sentido. Pero supongamos $X_1,X_2$ son variables aleatorias independientes con $$ \Pr(X_i\a) = \int_A \frac{x^{\alpha_i-1} e^{-x}}{\Gamma(\alpha_i)} \, dx \quad \text{para medir } \subseteq [0,+\infty), \quad i=1,2. $$ En ese caso, uno tiene $$ \Pr(X_1+X_2\a) = \int_A \frac{x^{\alpha_1+\alpha_2-1} e^{-x}}{\Gamma(\alpha_1+\alpha_2)} \, dx \quad \text{para medir } \subseteq [0,+\infty). $$ Esta última función de densidad de probabilidad es la convolución de las correspondientes a $\alpha_1$ $\alpha_2.$ poniendo Así el $\alpha-1$ en el exponente en lugar de $\alpha$ hace de esta una convolución semigroup en el que la convolución de estas funciones corresponde a la adición de $\alpha$s.
Cuando está escrito en el $(\lambda)$ más de la forma que el $\mu$ formulario y $x$ es el tiempo en un proceso de Poisson, a continuación, $\lambda x$ es el promedio del número de llegadas en un intervalo de tiempo de longitud $x.$ Cuando está escrito en el $(\mu)$ formulario, a continuación, $\mu$ es la media de tiempo hasta la próxima llegada.
