Estoy tratando de calcular el tiempo de evolución de la operadora \begin{equation} h(k)=\sum_k b_k^{\dagger}b_k\, . \end{equation} Por lo tanto, voy a la imagen de Heisenberg $$ h(k ,t) \equiv e^{\frac{i}{\manejadores}Ht}\,\left( \sum_k b_k^{\daga}b_k\right)\, e^{-\frac{i}{\manejadores}Ht} \, , $$ donde $H$ es la de Bose-Hubbard Hamiltonianos en $k-$espacio $$ H = \sum_k (\epsilon_k-\mu) b_k^{\daga}b_k +\frac{g}{2}\sum_{k,p,q}b_{k+p}^{\daga}b_{p-q}^{\daga}b_k b_p\, , $$ y el $b-$operadores cumplan los bosonic conmutación relación $[b_k,b_p^{\dagger}]=\delta_{k,p}$. Ahora, quiero evaluar el anterior depende del tiempo de operador $h(k,t)$ utilizando el BCH fórmula $$ e^XYe^{-X}=\sum_{m=0}^{\infty}\frac{1}{m.}[X,Y]_m\qquad\text{con}\quad [X,Y]_0=Y \, \, \text{y}\, \, [X,Y]_m=[X,[X,Y]_{m-1}]\, . $$ Para $m=1$, he calculado el siguiente conmutador relación $$ [H,h_{KE}(k)] = \\ = \frac{g}{2}\sum_{k,p,q,u} b_{k +p}^{\daga}b_{p -q}^{\daga}b_k b_u\delta_{p ,u}-b_{u}^{\daga}b_{p -q}^{\daga}b_k b_p\delta_{u ,k +p}+ b_{k +p}^{\daga}b_{p -q}^{\daga}b_p b_u\delta_{k ,u}-b_{u}^{\daga}b_{k +p}^{\daga}b_k b_p\delta_{u ,p -q}\, . $$ Como usted puede ver, hay deltas de Kronecker en cada periodo. No estoy seguro de cómo evaluarlos. Mi primer intento: Separar los términos ya que la suma de $\Sigma$ es lineal $$\begin{align} &[H,h_{KE}(k)] = &\\ &= \frac{g}{2V}\left(\sum_{k,p,q,u} b_{k +q}^{\dagger}b_{p -q}^{\dagger}b_k b_u\delta_{p ,u}-\sum_{k,p,q,u}b_{u}^{\dagger}b_{p -q}^{\dagger}b_k b_p\delta_{u ,k +q}+ \\ +\sum_{k,p,q,u}b_{k +q}^{\dagger}b_{p -q}^{\dagger}b_p b_u\delta_{k ,u}-\sum_{k,p,q,u}b_{u}^{\dagger}b_{k +q}^{\dagger}b_k b_p\delta_{u ,p -q}\right)\, . \end{align}$$ Ahora, podemos considerar que todos los delta de Kronecker por separado y establecer en primer término,$p=u$, en el segundo $u=k+q$, en el tercer $k=u$ y en el cuarto $u=p-q$. Sin embargo, esto hace que $0$. Me sentía como que mi enfoque es ingenuo y en realidad yo no esperaría $0$ a ser la respuesta correcta. Así como un segundo intento, he intentado deshacerse de índice de sumarios en los deltas de Kronecker. Así, en el 2º trimestre, lo puse a $k+q=n$ y en el cuarto periodo, me $p-q=m$ , y en ambos casos $q$ fue sustituido por la escritura en términos de n y m, respectivamente. Luego he ejecutado el Kronzucker deltas y establecer $n=q$ en el segundo término y $m=q$ en el cuarto periodo. $$\begin{align} &[H,h_{KE}(k)] =\\ &= \frac{g}{2V}\left(\sum_{k,p,q} b_{k +q}^{\dagger}b_{p -q}^{\dagger}b_k b_p-\sum_{k,p,q}b_{q}^{\dagger}b_{p -q+k}^{\dagger}b_k b_p+\\+\sum_{k,p,q} b_{k +q}^{\dagger}b_{p -q}^{\dagger}b_k b_p-\sum_{k,p,q}b_{q}^{\dagger}b_{k+p-q}^{\dagger}b_k b_p\right) \end{align}$$
Mi Pregunta es: Es esta una forma correcta de calcular esta expresión? Tenía la esperanza de que el Kronzucker deltas va a simplificar mi expresión un poco más, después de todo lo que tengo que calcular los términos de orden superior $m$ y será demasiado complicado... Gracias de antemano
Ilias
