Tres hombres viajando

Question

Tres hombres quieren viajar desde la ciudad de $P$ ciudad $Q$ (distancia entre ciudades: $a$). Tienen una moto (la velocidad del vehículo: $b$), pero sólo dos de ellos pueden estar en la moto al mismo tiempo. Su velocidad de marcha es $c$ ($b$ > $c$). ¿Cuánto tiempo se necesita para viajar? Yo creo que la mejor solución es similar a esto:

1. Dos personas ( $A$ $B$ ) de los viajes en moto, la tercera ($C$) de las caminatas.
2. $A$ gotas $B$ a punto de $X$ y vuelve a recoger $C$. $B$ paseos de la ciudad $Q$.
3. Después de recoger $C$, la moto va a la ciudad $Q$. Los tres hombres llegan al mismo tiempo.

Sin embargo, no sé, como para demostrar que esta es la mejor solución.

Answer 1

Podemos asumir $a=1$, $b=1$ y $c={1\over w}$, por $w>1$ indica el tiempo necesario para caminar el tramo completo. Con objeto de simplificar estoy asumiendo que $A$ es siempre quedarse con su bicicleta. Dado que algunos de protocolo de ${\cal P}$ (tal vez más complicado que el descrito en la pregunta), denotan por $t_A$, $t_B$, $t_C$ el tiempo necesario para que las tres personas en el fin de llegar a $Q$, cuando este protocolo está en vigor. Queremos universal límite inferior de la cantidad $$T_{\cal P}:=\max\{t_A,t_B,t_C\}\ .$$ Deje $\rho_B$ ser la fracción de la forma $B$ es andar hacia delante en la bicicleta junto con $A$, y definir $\rho_C$ igualmente. Entonces $$t_B\geq \rho_B+(1-\rho_B)w=w-(w-1)\rho_B,\qquad t_C\geq w-(w-1)\rho_C\ .$$ De ello se sigue que $$\max\{t_B,t_C\}\geq w-(w-1)\min\{\rho_B,\rho_C\}\geq w-(w-1)\rho\ ,\qquad \rho:={\rho_B+\rho_C\over2}\ .\tag{1}$$ Con el fin de obtener un enlace para $t_A$ tenemos que distinguir los casos (i): $\rho_B+\rho_C\leq1$ y (ii): $\rho_B+\rho_C>1$. En caso de que (i) todo lo que podemos decir es $t_A\geq1$. En caso de que (ii) las partes de la carretera, donde $B$ $C$ están montando con $A$ superposición de por lo menos $\rho_B+\rho_C-1$. De ello se desprende que $A$ tiene que conducir de vuelta al menos de esta cantidad. De esta manera se obtiene en el caso (ii) el obligado $$t_A\geq\rho_B+\rho_C+(\rho_B+\rho_C-1)=4\rho-1\ .$$ Por lo tanto, es seguro decir que $$t_A\geq\max\{1,4\rho-1\}\ .\tag{2}$$ Tomando $(1)$ $(2)$ juntos vemos que $$T_{\cal P}\geq\max\{w-(w-1)\rho, 1,\ 4\rho-1\}\ .\tag{3}$$ Un análisis de $(3)$ $0\leq\rho\leq1$ a continuación, muestra que el lado derecho es mínima en $\rho={w+1\over w+3}$. Esto conduce a la estimación universal $$T_{\cal P}\geq{3w+1\over w+3}\ .$$ Yo diría que el protocolo que usted describe se da cuenta de esta obligado; por lo tanto no se puede hacer mejor.