Deje $A$ ser una matriz estocástica. Entonces \begin{align*} \lim_{t \rightarrow\infty} A^t \end{align*}
no puede existir. Por ejemplo: \begin{align*} A &= \begin{bmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{bmatrix} \\ A^{2} &= I \\ A^{2t+1} &= A \end{align*}
Ahora definir el límite de Cesàro $A^\infty$ $A$ \begin{align*} \lim_{t \rightarrow \infty} \frac{1}{t} \sum_{k=0}^{t-1} A^k \end{align*}
Entonces, para el ejemplo anterior, \begin{align*} A^\infty = \begin{bmatrix} \frac{1}{2} & \frac{1}{2} \\ \frac{1}{2} & \frac{1}{2} \end{bmatrix} \end{align*}
Intuitivamente, $A^\infty$ representa el largo plazo, la cantidad promedio de tiempo de permanencia en cada estado de la cadena de Markov descrito por $A$. Mi pregunta es esta: ¿cada (finito) estocástico de la matriz tienen un límite de Cesàro? Si es así, ¿cuál es la más eficiente algoritmo para encontrar este límite?
De acuerdo a este artículo, $R^2 = R = RA = AR$ y el rango de $R \geq $ rango $A^\infty$ implica $R = A^\infty$.
Parece que las filas de a $A^\infty$ son los vectores propios normalizados de $A^\top$ que tienen un correspondiente autovalor de 1. ¿Cómo se determina el orden correcto y la repetición de tales vectores propios, a través de algoritmos?
EDIT: de Acuerdo a este artículo, el límite de Cesàro se garantiza que existe y es igual a la eigenprojection para el autovalor 1 de $A$.
EDIT 2: de Acuerdo a este artículo,
$$A^\infty = X (Y^* X)^{-1} Y^*$$
donde $X$ son los vectores propios de a $A$ con autovalor 1 y $Y$ son los vectores propios de a $A^\top$ con autovalor 1. Yo por lo general obtener el resultado correcto con este enfoque, pero a veces los errores numéricos parecen resultar en el mal Cesàro límite. Hay más numéricamente estable enfoque?
