Es $\sin(n^k) ≠ (\sin n)^k$ ¿en general?

Question

¿Es cierto que $\sin(n^k) != (\sin n)^k$ para cualquier número entero positivo $n$ y los enteros $k != 1$ ?

¿Y si $n > 0, k != 1$ son racionales?

Answer 1

Si $\sin(n^k)=\sin(n)^k$ entonces $\frac{e^{in^k}-e^{-in^k}}{2i}=(\frac{e^{in}-e^{-in}}{2i})^k$ para que $e^i$ sería algebraico.

Pero eso contradice directamente la Teorema de Lindemann-Weierstrass porque $i$ es algebraico.