En algunas (pero no todas) de las definiciones publicadas, un local cartesiana cerrada categoría es cualquier categoría, con todas sus rebanadas cartesiana cerrada. Esta categoría no necesita ser cartesiana cerrada en sí misma, simplemente porque no tienen necesidad de un terminal de objeto.
Como un ejemplo destacado, no es la $n$-categoría Cafe: https://ncatlab.org/nlab/show/locally+cartesiano+cerrado+categoría
Veo cómo alguien podría encontrar esta formalmente definición natural. En particular, las que alguien podría querer restar importancia a la terminal de objetos para fines de tipo dependiente de la teoría debido a que tipos de terminales que no son muy útiles en la programación aunque normalmente existen.
Pero tengo curiosidad por saber si hay ejemplos importantes de local cartesiano categorías cerradas en este sentido que en realidad no tienen un terminal de objeto (es decir, no están en realidad cartesiana cerrada)?
Una fuente de ejemplos que se me ocurre: La inconexión de la unión de $C+D$ de cualquiera de los dos cartesiana cerrada categorías $C,D$ es localmente cartesiana cerrada.
Que no parece importante para mí, aunque no sé no lo es. No es trivial la incrustación de que la desunión de la unión como un par de rebanada categorías de un cartesiana cerrada categoría. Formalmente lindan con un nuevo terminal de objeto para el conjunto discontinuo de la unión categoría, y añadir los mapas de la nueva terminal de objeto en la inconexión de la unión de los dos anteriores terminal de objetos. Pero no puedo ver esto como un tipo importante de ejemplo, porque para mí esto sólo se ve como una presentación de la subproducto en la 2-categoría de toposes: que es realizado por el producto de la toposes en el 1-categoría de categorías. (Los objetos $a,b$ $C$ $D$ aparecen como pares de $(a,1)$ $(1,b)$ en el producto, con el original de la terminal de objetos de $1$.)
