Prob. 2(b), Sec. 25, en TOPOLOGÍA de Munkres, 2ª ed: La condición iff para que dos puntos estén en la misma componente de $\mathbb{R}^\omega$

Question

Aquí está el Prob. 2 (b), Sec. 25, en el libro Topología por James R. Munkres, 2ª edición:

Considere $\mathbb{R}^\omega$ en la topología uniforme. Demuestre que $\mathbf{x}$ y $\mathbf{y}$ se encuentran en el mismo componente de $\mathbb{R}^\omega$ si y sólo si la secuencia $$ \mathbf{x} - \mathbf{y} = \left( x_1 - y_1, x_2 - y_2, \ldots \right) $$ está acotado. [ Una pista: Basta con considerar el caso en que $\mathbf{y} = \mathbf{0}$ .]

Mi intento:

En primer lugar, observamos que $\mathbb{R}^\omega$ denota el conjunto de todas las secuencias (infinitas) de números reales; es decir, $\mathbb{R}^\omega$ denota el producto cartesiano contablemente infinito $$ \mathbb{R} \times \mathbb{R} \times \cdots. $$

Y, la topología uniforme en $\mathbb{R}^\omega$ es la inducida por la llamada métrica uniforme sobre $\mathbb{R}^\omega$ que viene dado por $$ \bar{\rho}( \mathbf{x}, \mathbf{y} ) \colon= \sup \left\{ \ \min \left\{ \ \left\lvert x_n - y_n \right\rvert, 1 \ \right\} \ \colon \ n \in \mathbb{N} \ \right\} $$ para todos $\mathbf{x} \colon= \left( x_n \right)_{n \in \mathbb{N}}$ y $\mathbf{y} \colon= \left( y_n \right)_{n \in \mathbb{N}}$ en $\mathbb{R}^\omega$ .

Ahora dejemos que $\mathbf{a} \colon= \left( a_n \right)_{n \in \mathbb{N}}$ y $\mathbf{b} \colon= \left( b_n \right)_{n \in \mathbb{N}}$ sean dos puntos cualesquiera de $\mathbb{R}^\omega$ tal que la secuencia $$ \mathbf{a} - \mathbf{b} = \left( a_n - b_n \right)_{n \in \mathbb{N}}$$ está acotado, es decir, es tal que existe un número real positivo $r$ tal que $$ \left\lvert a_n - b_n \right\rvert \leq r \ \mbox{ for all } \ n \in \mathbb{N}. \tag{1} $$ Ahora dejemos que $f \colon [ 0, 1 ] \to \mathbb{R}^\omega$ sea el mapa definido por $$ f(t) \colon= \mathbf{a} + t(\mathbf{b}- \mathbf{a} ) = \big( a_n + t \left( b_n - a_n \right) \big)_{n \in \mathbb{N}} \ \mbox{ for all } \ t \in [0, 1]. $$ Entonces, para cualquier punto $s, t \in [0, 1]$ observamos que $$ \begin{align} \bar{\rho}( f(s), f(t) ) &= \sup \left\{ \ \min \left\{ \ \big\lvert \big( a_n + s \left( b_n - a_n \right) \big) - \big( a_n + t \left( b_n - a_n \right) \big) \big\rvert, \, 1 \ \right\} \ \colon \ n \in \mathbb{N} \ \right\} \\ &= \sup \left\{ \ \min \left\{ \ \lvert s-t \rvert \cdot \left\lvert b_n - a_n \right\rvert, \, 1 \ \right\} \ \colon \ n \in \mathbb{N} \ \right\} \\ &\leq \sup \left\{ \ \lvert s-t \rvert \cdot \left\lvert b_n - a_n \right\rvert \colon \ n \in \mathbb{N} \ \right\} \\ &= \lvert s-t \rvert \cdot \sup \left\{ \ \left\lvert b_n - a_n \right\rvert \colon \ n \in \mathbb{N} \ \right\} \\ &\leq \lvert s-t \rvert r \qquad \mbox{ [ using (1) above ]}. \end{align} $$ Así, dado cualquier número real $\varepsilon > 0$ si elegimos nuestro número real $\delta$ tal que $$ 0 < \delta < \frac{\varepsilon}{r}, $$ entonces encontramos que $$ \bar{\rho}( f(s), f(t) ) < \varepsilon $$ se mantiene para cualquier par de puntos $s, t \in [0, 1]$ para lo cual $$ \lvert s-t \rvert < \delta. $$ Así, el mapa $f$ es continua (de hecho, uniformemente continua). Además, $f(0) = \mathbf{a}$ y $f(1) = \mathbf{b}$ . Por lo tanto, $f$ es una trayectoria en el espacio uniforme $\mathbb{R}^\omega$ uniendo los puntos $\mathbf{a}$ y $\mathbf{b}$ . Así que $\mathbf{a}$ y $\mathbf{b}$ se encuentran en la misma componente de la trayectoria de $\mathbb{R}^\omega$ . Y como cada componente de la trayectoria de cualquier espacio topológico está contenida en una componente de ese espacio, podemos concluir que $\mathbf{a}$ y $\mathbf{b}$ se encuentran en el mismo componente de $\mathbb{R}^\omega$ .

¿Estoy en lo cierto? ¿Podemos dar una prueba independiente de lo anterior sin recurrir a los componentes del camino?

Supongamos ahora que la secuencia $\mathbf{a} - \mathbf{b}$ no tiene límites. Entonces, para cualquier número natural $k$ existe un número natural $n_k$ tal que $$ \left\lvert a_{n_k} - b_{n_k} \right\rvert > k. $$

Ahora dejemos que $U$ sea el conjunto de todos los puntos $\mathbf{x} \colon= \left( x_n \right)_{n \in \mathbb{N}}$ en $\mathbb{R}^\omega$ tal que la secuencia $\mathbf{a} - \mathbf{x}$ está acotado. Entonces $\mathbf{a} \in U$ .

Además, si $\mathbf{u} \colon= \left( u_n \right)_{n \in \mathbb{N}} \in U$ , entonces la secuencia $\left( a_n - u_n \right)_{n \in \mathbb{N}}$ está acotado; es decir, existe un número real positivo $r_\mathbf{u}$ tal que $$ \left\lvert a_n - u_n \right\rvert < r_\mathbf{u} \ \mbox{ for all } \ n \in \mathbb{N}. $$ Así que si $\varepsilon \in (0, 1)$ y si $\mathbf{x}$ es cualquier punto de $\mathbb{R}^\omega$ tal que $$ \bar{\rho}( \mathbf{x}, \mathbf{u} ) < \varepsilon, $$ entonces, para cada $n \in \mathbb{N}$ tenemos $$ \min\big\{ \ \left\lvert x_n - u_n \right\rvert, \ 1 \ \big\} \leq \bar{\rho}( \mathbf{x}, \mathbf{u} ) < \varepsilon < 1, $$ y así $$ \min\big\{ \ \left\lvert x_n - u_n \right\rvert, \ 1 \big\} = \left\lvert x_n - u_n \right\rvert, $$ y por lo tanto $$ \left\lvert x_n - u_n \right\rvert < \varepsilon. $$ Entonces, para cualquier $n \in \mathbb{N}$ obtenemos $$ \begin{align} \left\lvert x_n - a_n \right\rvert &\leq \left\lvert x_n - u_n \right\rvert + \left\lvert u_n - a_n \right\rvert \\ &< \varepsilon + r_\mathbf{u}. \end{align} $$ demostrando así que $\mathbf{x} \in U$ también. Por lo tanto, $U$ está abierto en el espacio uniforme $\mathbb{R}^\omega$ .

Ahora el punto $\mathbf{b}$ está en el conjunto $\mathbb{R}^\omega \setminus U$ .

Dejemos que $\mathbf{v}$ sea cualquier punto de $\mathbb{R}^\omega \setminus U$ . Entonces la secuencia $\left( v_n - a_n \right)_{n \in \mathbb{N}}$ es ilimitado; por lo que para cualquier número natural $k$ existe un número natural $m_k$ tal que $$ \left\lvert v_{m_k} - a_{m_k} \right\rvert > k. $$ Ahora bien, si $\varepsilon \in (0, 1)$ y si $\mathbf{y}$ es cualquier punto de $\mathbb{R}^\omega$ tal que $$ \bar{\rho}( \mathbf{y}, \mathbf{v} ) < \varepsilon, $$ entonces como antes debemos tener $$ \left\lvert y_n - v_n \right\rvert < \varepsilon $$ para cada número natural $n$ . Ahora bien, si $\lambda$ es un número real arbitrario y si $k$ es un número natural tal que $k > \lambda + \varepsilon$ entonces encontramos que $$ \begin{align} \left\lvert y_{m_k} - a_{m_k} \right\rvert &\geq \left\lvert v_{m_k} - a_{m_k} \right\rvert - \left\lvert y_{m_k} - v_{m_k} \right\rvert \\ &> k - \varepsilon \\ &> \lambda. \end{align} $$ Por lo tanto, para cualquier número real $\lambda$ no importa lo grande que sea, podemos encontrar un número natural $m_k$ tal que $$ \left\lvert y_{m_k} - a_{m_k} \right\rvert > \lambda. $$ Así, la secuencia $\left( y_n - a_n \right)_{n \in \mathbb{N}}$ no tiene límites, lo que demuestra que $\mathbf{y}$ está en $\mathbb{R}^\omega \setminus U$ . Por lo tanto, el conjunto $\mathbb{R}^\omega \setminus U$ también es abierto en el espacio métrico uniforme $\mathbb{R}^\omega$ .

Así, los conjuntos $U$ y $\mathbb{R}^\omega \setminus U$ constituyen una separación del espacio métrico uniforme $\mathbb{R}^\omega$ . Además, estos dos conjuntos son abiertos y cerrados en $\mathbb{R}^\omega$ con la topología uniforme.

Por último, si $\mathbf{x}$ y $\mathbf{y}$ son dos puntos cualesquiera de $U$ . entonces las secuencias $\mathbf{x} - \mathbf{a}$ y $\mathbf{y} - \mathbf{a}$ son ambos acotados; por lo que la secuencia $\mathbf{x} - \mathbf{y} = ( \mathbf{x} - \mathbf{a} ) - ( \mathbf{y} - \mathbf{a} )$ también está acotado. Así, $\mathbf{x}$ y $\mathbf{y}$ están en la misma componente (camino) del espacio métrico uniforme $\mathbb{R}^\omega$ como se ha demostrado anteriormente. Por lo tanto, el conjunto $U$ está (camino) conectado.

Del mismo modo, el conjunto $V$ de todos los puntos $\mathbf{v}$ en $\mathbb{R}^\omega$ tal que $\mathbf{v} - \mathbf{b}$ está acotado es (camino) conectado. Además, $\mathbf{b}$ está en $V$ pero $\mathbf{a}$ no está en $V$ . También $V$ es abierto y cerrado en el espacio métrico uniforme $\mathbb{R}^\omega$ , al igual que $U$ ha demostrado ser tanto abierto como cerrado.

Además, los conjuntos $U$ y $V$ son disjuntos.

¡Ahora me pierdo!

¿Y ahora qué? ¿Cómo proceder a partir de aquí? O, ¿hay algún lugar en el que me haya equivocado?

P.D:

Creo que he dado con el truco adecuado.

Ahora como los conjuntos $U$ y $\mathbb{R}^\omega \setminus U$ forman una separación del espacio métrico uniforme $\mathbb{R}^\omega$ por lo que cualquier subespacio conectado se encuentra en $U$ o $\mathbb{R}^\omega \setminus U$ pero no ambos. [Consulte el lema 23.2 de Munkres].

Como $\mathbf{a} \in U$ por lo que el componente que contiene $\mathbf{a}$ que es, por supuesto, un subespacio conexo de $\mathbb{R}^\omega$ también debe estar en $U$ . Y, como $\mathbf{b}$ está en $\mathbb{R}^\omega \setminus U$ por lo que el componente que contiene $\mathbf{b}$ se encuentra en $\mathbb{R}^\omega \setminus U$ . Por lo tanto, los puntos $\mathbf{a}$ y $\mathbf{b}$ se encuentran en diferentes componentes de $\mathbb{R}^\omega$ en la topología uniforme si la secuencia $\mathbf{a} - \mathbf{b}$ no tiene límites.

¿Hay algún fallo en mi razonamiento?

Answer 1

Lo que has hecho parece genial.

Algunos comentarios:

1. En el ejercicio se dio una pista, y es que basta con considerar el caso en el que una de las secuencias es siempre evanescente. De hecho, esto simplifica las anotaciones. Se puede demostrar que basta con considerar este caso considerando la traslación $\tau_a$ tal que $\tau_a(\mathbf 0)= \mathbf a$ . $\tau_a$ es un homeomorfismo de $\mathbb R^\omega$ y, por lo tanto, transforman los componentes en componentes.
2. En cuanto a su pregunta para evitar el uso de la conectividad del camino. Puedes notar que la norma sup está bien definida en $U$ . Además, el balón abierto $B$ centrado en $\mathbf a$ con radio $2\Vert \mathbf a -\mathbf b\Vert_\infty$ es abierta, conectada como todas las bolas abiertas e incluida en $U$ . Por lo tanto, $U$ está conectado. Se trata de un resultado general según el cual una unión de conjuntos conexos que contienen todos un punto $x$ está conectado.