convergencia de secuencias de variables aleatorias y secuencias de cauchy

Question

Dejemos que $(X_n)$ sea una secuencia de variables aleatorias reales en $(\Omega,\mathcal A,\mathbb P)$ . Entonces 1. y 2. son equivalentes:

1. Existe una variable aleatoria $X$ , s.t. $X_n\to X$ $P$ -casi seguro para $n\to \infty$ .
2. $\sup_{m>n} |X_m-X_n|\to 0$ en probabilidad para $n\to\infty$ .

Intenté mostrar $1.\Rightarrow 2.$ :

Sé que $X_n\to X$ $P$ -casi seguro que significa que $$P(\lim_{n\to\infty} X_n=X)=1$$ o de forma equivalente $$(*)\quad \lim_{n\to\infty} P(\sup_{m\geq n} |X_m-X|\geq\varepsilon)=0\quad\forall\varepsilon>0$$

$\sup_{m>n} |X_m-X_n|\to 0$ en los medios de probabilidad \begin{equation}\lim_{n\to\infty} P(\sup_{m>n}|X_m-X_n|\geq\varepsilon)=0\quad\forall\varepsilon>0\end{equation}

Esto parece una secuencia de Cauchy en probabilidad, pero no sé si puedo deducir la convergencia de esto desde $(*)$ .

¿Cómo puedo seguir demostrando esto? Gracias por cualquier aportación.

Answer 1

Para la primera parte, utilicemos que la convergencia casi segura implica la convergencia en probabilidad: así nos reducimos a demostrar que $\sup_{m\geqslant n}|X_m-X|\to 0$ en probabilidad, pero en este caso hay realmente una convergencia en casi todas partes.

A la inversa, supongamos que $\mathbb P(\sup_{m\geqslant n}|X_m-X_n|\gt\varepsilon)\to 0$ por cada positivo $\varepsilon$ . Tenemos en particular que $(X_n)_n$ es Cauchy en probabilidad, a saber, $$\forall \varepsilon,\delta\gt 0,\exists n_0\mbox{ such that if }m,n\geqslant n_0, \mathbb P(|X_m-X_n|\gt\varepsilon)\lt\delta.$$ Tomando $\delta$ de la forma $2^{-k}$ podemos extraer una subsecuencia de convergencia en casi todas partes a alguna variable aleatoria $X$ . Entonces, utilizando la Cauchy-ness, podemos demostrar que $X_n\to X$ en la probabilidad. Ahora volvemos a la suposición. Ahora dice $\mathbb P(\sup_{m\geqslant n}|X_m-X|\gt \varepsilon)\to 0$ por cada positivo $\varepsilon$ . Definir $Y_n:=\sup_{m\geqslant n}|X_m-X|$ la secuencia $(Y_n)_n$ no es creciente y va a $0$ en la probabilidad, por lo tanto, casi en todas partes.