Deje $D \subset \mathbb{R}^2$ ser la unidad de abrir el disco. Tenga en cuenta que cualquier armónico de la función en $D$ es real analítica. ¿Cómo se puede demostrar que no sale de una constante $C>0$ de manera tal que la expansión de Taylor de cualquier armónico de la función en $D$ converge en el disco de radio $C$? En otras palabras, no es un uniforme de radio de convergencia.
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La historia es la misma que para holomorphic funciones. Dada una función armónica $u$ en un disco, escribe como $u=\operatorname{Re}f$ $f$ holomorphic. El radio de convergencia de la serie de Taylor de $f$ centrada en $a$ es igual a la supremum de todos los $r$ tal que $f$ tiene un holomorphic extensión a $|z-a|<r$. Deje $R$ ser este supremum.
(Prueba de la anterior afirmación: la integral de Cauchy estimación de los coeficientes de rendimientos $$|c_n|\le \frac{1}{ (R-\epsilon)^n}\max_{|z-a|=R-\epsilon } |f(z)|$$ lo cual nos indica que el radio de convergencia es, al menos,$R$. Por el contrario, si el poder de la serie converge en algunos discos, define una holomorphic función de allí. )
La serie de Taylor de $u$ centrada en $a$ es $$u(z)=\sum_{n=0}^\infty \operatorname{Re}\left( c_n (z-a)^n\right)\tag{1}$$ donde el $n$th término es un polinomio homogéneo en $x$ $y$ grado $n$. El máximo de dicho polinomio en el círculo de $|z-a|=r$$|c_n|r^n$. Por lo tanto, en un disco de radio mayor que $R$ los términos no converge a cero. De ello se deduce que el radio de convergencia de (1) es el mismo ($R$) como para el holomorphic función de $f$.
En cualquier subconjunto compacto $K$ del dominio de $u$ este radio es limitada, desde abajo, por la distancia de $K$ a la frontera del dominio. En general, no es más que eso. Por ejemplo, la función $u(z)=\operatorname{Re}(1-z)^{-1}$ es armónica en la unidad de disco. Por lo anterior, su serie de Taylor en $a=1-\epsilon$ tiene radio de convergencia de la igualdad de $\epsilon$. Desde $\epsilon$ puede ser arbitrariamente pequeño, no tiene un uniforme límite inferior en el radio de convergencia para todos los centros de $a$$|a|<1$.
