Aquí están mis pensamientos:
Supongamos $F_p[x]$ es plano sobre a $F_p[x^p]$. A continuación, aplicar la $- \otimes_{F_p[x^p]}F_p[x]$ a los naturales de inyección de $F_p[x^p] \to F_p[x]$ muestra que el mapa de $F_p[x] \to F_p[x] \otimes_{F_p[x^p]}F_p[x]$ $f \to f \otimes 1$ es inyectiva.
Así que ahora si $a \in F_p[x] \otimes_{F_p[x^p]}F_p[x]$ es en el nilardical, a continuación, $a^p$ es también en el nilradical. Pero fácilmente podemos ver que $a^p$ es una suma de elementos de la forma $f(x^p) \otimes g(x^p)$ y cada suma que tiene la forma de $h \otimes 1$ entonces $h$ es en el nilradical de $F_p[x]$ por encima de la inyección, por lo $a^p=0$.
No estoy seguro de cómo proceder a partir de ahí, o incluso si $F_p[x]$ es realmente plana por $F_p[x^p]$.
Los pensamientos?
EDIT: OK, Hurkyl la idea de la mata rápidamente y fácilmente, pero yo todavía me gustaría ver si la idea sale bien.
