Use el teorema de Wilson para mostrar que$63! + 1 \equiv 0 \mod ~ 71$

Question

Use el teorema de Wilson para mostrar que$63! + 1 \equiv 0 \mod ~ 71$.

71 es primo, entonces el teorema de Wilson dice que$(71-1)!+1=0 \mod ~ 71$ ie$70!+1\equiv 0 \mod ~ 71$ ¿cómo proceder más?

Answer 1

Insinuación: $64\times 65 \dots \times 70 \equiv -7\times -6 \dots \times -1$

Para desglosar aún más intentar

$(7\times 5 \times 2)\times (6\times 4\times 3)$

Answer 2

Tienes que mostrar que$70! \equiv 63! \mod 71$, por lo que es suficiente mostrar que$70 \cdot 69\cdot 68\cdot 67\cdot 66 \cdot 65 \cdot 64 \equiv 1 \mod 71$. Esto se cumple debido a$70 \cdot 69\cdot 68\cdot 67\cdot 66 \cdot 65 \cdot 64 \equiv (-1)\cdot (-2)\cdot (-3)\cdot (-4)\cdot (-5)\cdot (-6)\cdot (-7) \equiv -720 \cdot 7 \equiv -10 \cdot 7 \equiv -70 \equiv 1 \mod 71$