¿Dónde se encuentra la colección de conjuntos con densidad superior positiva en la jerarquía de Borel?

Question

La densidad superior de un conjunto $A\subset\mathbb{N}$ se define como $\bar{d}(A) = \limsup_{N\to\infty}\frac{|A\cap\{1,\ldots,N\}|}{N}$ . Si identificamos un conjunto $A$ con su función característica $\chi_A$ que tratamos como un elemento de $2^{\mathbb{N}}$ tiene sentido hablar de la densidad superior de un infinito $\{0, 1\}$ secuencia. Abusaré de la notación y escribiré $\bar{d}(\chi_A) = \bar{d}(A)$ .

¿Qué hace el conjunto de los reales $\{y\in 2^{\mathbb{N}}:\bar{d}(y) > 0\}\subset 2^{\mathbb{N}}$ ¿en cuanto a su complejidad? ¿Podemos situarlo definitivamente en algún lugar de la jerarquía de Borel $\cup_{\xi<\omega_1}\Sigma^0_{\xi}$ ?

Answer 1

Fijar un número entero $N$ y un verdadero $r$ . El conjunto $D_{N, r}$ de conjuntos $A$ Satisfaciendo a ${\vert A\cap\{1, ..., N\}\vert\over N}\ge r$ es clopen (ya que esta condición sólo depende del primer $N$ bits de $A$ .

Ahora un conjunto $A$ tiene una densidad superior $\ge r$ si para un número infinito de $N$ tenemos $A\in D_{N, r}$ . Esto resulta corresponder a dos niveles en la jerarquía de Borel, como sigue. Sea $D_{N^+, r}=\bigcup_{M\ge N} D_{M,r}$ . Cada $D_{N^+, r}$ es abierto (siendo una unión contable de conjuntos cerrados), y (ejercicio) $A$ está en infinitamente muchos $D_{N, r}$ s si $A\in D_{N^+, r}$ para cada $N$ es decir, si $A\in\bigcap_{N\in\mathbb{N}}(\bigcup_{M\ge N}D_{M, r})$ y este último conjunto es $\Pi^0_2$ .

Así que para recapitular, el conjunto de conjuntos con densidad superior $\ge r$ es (en el peor de los casos) $\Pi^0_2$ para cada $r$ . Ahora bien, un conjunto tiene densidad superior positiva si tiene densidad superior $\ge q$ para algún racional positivo $q$ y sólo hay un número contable de racionales positivos, por lo que el conjunto de conjuntos de densidad superior positiva es una unión contable de $\Pi^0_2$ conjuntos, por lo que $\Sigma^0_3$ .

Ahora bien, esto es sólo un superior de la que no se puede prescindir; todavía tenemos que demostrar que no es $\Pi^0_3$ para hacer este límite superior agudo . Esto es complicado, pero no demasiado difícil, y es un buen ejercicio.