Conmutatividad de un grupo finito

Question

En un grupo finito, se puede elegir un representante de cada clase de conjugación de modo que todos ellos puedan conmutar. Demuestre que el grupo es conmutativo. ¿Sigue siendo cierto si el grupo es infinito?

Answer 1

Usted puede demostrar que para grupos finitos con el siguiente lema.

Lema Deje $G$ ser un grupo finito, y deje $H$ ser un adecuado subgrupo. A continuación, la unión de todos los conjugados $\bigcup_{g \in G}H^g$ es un subconjunto de a $G$.

La Prueba Deje $|H|=m \gt 1$. Deje $N_G(H)$ ser el normalizador de la $H$$G$, y tenga en cuenta que contiene $H$. Por lo tanto , $[G\colon N_G(H)]\leq[G\colon H]$. $G$ actúa transitivamente sobre todos los conjugados de $H$ por conjugación. El estabilizador de la $H$ es, precisamente, el subgrupo $N_G(H)$, de modo que por el de la Órbita Estabilizador Teorema, el número de conjugar diferentes subgrupos es igual a $[G\colon N_G(H)]$. Ahora cada una de las conjugado subgrupos tiene cardinalidad igual a $|H|$, y cada uno contiene el elemento de identidad $1$, por lo que hay la mayoría de las $1+[G\colon N_G(H)](\vert H\vert-1)$ elementos de la unión. Pero, $$ 1+[G\colon N_G(H)](\vert H\vert-1)\leq 1+[G\colon H](\vert H\vert-1)=1+\vert G\vert-m=\vert G\vert+(1-m)<\vert G\vert $$ desde $m>1$. De modo que la unión del conjugado subgrupos es un subconjunto.$\square$

Ahora pon $H= \langle x_1, \dots, x_k \rangle$, el grupo generado por los diferentes representantes de las clases conjugacy de $G$. Tenga en cuenta que este subgrupo $H$ es abelian por la suposición de que cada una de las $x_i$ conmuta con cada uno de los otros. Porque la unión de todas las clases conjugacy es igual a $G$, debemos tener la $\bigcup_{g \in G}H^g=G$. Por el lema llegamos a la conclusión de que $H=G$ y, por tanto, $G$ es abelian.$\square$

Answer 2

Sin duda es falso para grupos infinitos, ya que hay grupos con clases de conjugación$2$, por lo que no pueden ser conmutativos. De lo contrario, tome el grupo generado por sus representantes. Es un grupo abeliano que se cruza con cada clase de conjugación, por lo que según el teorema de Jordan es el grupo completo, que es, por lo tanto, abeliano.