¿Hay una ecuación para cada gráfico?

Question

Es posible escribir una fórmula para que cualquier línea que se pueda imaginar, por ejemplo, un dibujo?

Una vez vi este largo y complicado, de fórmula hecha por un matemático con un montón de techos, etc.

La explicación fue algo que ver con lo que era la programación de ordenadores que utilizan píxeles - realmente no estoy seguro - pero, básicamente, todo el gráfico tenido cada uno de los pixeles de dibujo no estaba, y se limita a la sección de la imagen que quería.

Es esto posible en las actuales líneas, no se píxeles.

-- Hice una búsqueda y es esta: Tupper de auto-referencial de la fórmula

Answer 1

@Ethan Bolker es correcto, y si usted desea hacer su declaración más precisa, usted podría decir algo sobre el número de posibles "curvas" vs el número de posibles "fórmulas", donde una fórmula es algo que matemáticamente sensible, está escrito con algunas conjunto finito de símbolos (xs, ys, además, poderes, multiplicación...lo que puede expresar usando LaTeX de la ecuación de edición, por ejemplo) en un número finito de cadena. El número de este tipo de fórmulas es contable, mientras que el número de curvas es incontable (basta pensar en la línea horizontal a la altura de la $u$ para cada número real $u$; $u$ rangos de los reales, usted tiene un número incontable de 'curvas').

Pero esta cuestión se aborda también, en un poco de manera indirecta, de Tom Stoppard, el excelente juego de Arcadia; en él se encuentra la siguiente intercambio entre Thomasina, un prodigio, y su tutor, Septimus:

Thomasina: ... Cada semana me trama tu ecuaciones punto por punto, xs contra ys en todo tipo de algebraico relación, y cada semana sacan a sí mismos como lugar común de la geometría, como si el mundo de las formas se nada, pero los arcos y ángulos. La verdad de dios, Septimus, si hay un ecuación de una curva de campana, debe ser una ecuación para una como un bluebell, y si un bluebell, ¿por qué no una rosa? Creemos la naturaleza está escrito en números?

Septimus: softonic.

Thomasina: Entonces, ¿por qué las ecuaciones sólo describir las formas de fabricación?

Septimus: no sé.

Thomasina: Armado por lo tanto, Dios sólo podría hacer un gabinete.

Septimus: Él tiene dominio de ecuaciones que conducen a los infinitos donde no podemos seguir.

Thomasina: Lo que un débiles de corazón! Debemos trabajar hacia afuera desde el centro de el laberinto. Vamos a empezar con algo sencillo. (Coge la manzana de la hoja.) Voy a graficar esta hoja y deducir su ecuación. Usted será famoso por ser mi tutor cuando Lord Byron está muerto y olvidado.

Mientras que su pregunta es matemático, recomiendo encarecidamente la lectura de la obra, a pesar de ser muy poco precisa de las matemáticas.

Answer 2

La respuesta corta es no". Una respuesta larga requeriría definiciones cuidadosas de "fórmula" y de "cualquier línea imaginable". Esas definiciones son difíciles de escribir.

Si tiene que dibujar una curva de píxeles en la pantalla de una computadora, a menudo podrá encontrar una fórmula que le proporcione una buena aproximación de lo que desea.

Answer 3

Hay fantásticas fórmulas, como la de Batman ecuación, pero en general yo creo que no es posible.

Si nos restringimos a las gráficas de funciones continuas de una variable, para nuestras fórmulas que suelen ceñirse a un conjunto de funciones elementales que se agota rápidamente para obtener más exótico de los casos y debe ser extendido por funciones especiales o de funciones integrales, soluciones de ecuaciones diferenciales, etc.

Answer 4

Así, se puede aproximar con Taylor teorema. Usted también podría considerar la posibilidad de una serie de fourier (no conozco mucho de eso).

De hecho, muchas de las funciones básicas se calculan a través de su serie de Taylor. Principalmente funciones analíticas:

$$\sin(x)=x-\frac16x^3+\frac1{120}x^5+\mathcal O(x^7)$$

como usted siga tomando la expansión, usted recibirá un polinomio que está realmente cerca de la $\sin(x)$.

Algunas "líneas" son representables mediante implícito fórmulas, como $x^y=y^x,y\ne x$. Pero también puede ser representada por una ecuación paramétrica: $$(x,y)=(a^{1/(a-1)},a^{a/(a-1)})$$ o un polar de la forma:

$$r=\left(\frac{(\sin\theta)^{\cos\theta}}{(\cos\theta)^{\sin\theta}}\right)^{1/(\sin\theta-\cos\theta)}$$

Así que hay muchas maneras interesantes para producir cualquier número de líneas.

No estoy muy seguro, sin embargo, si podría ser posible deducir cualquier fórmula de la línea, pero los de arriba dan algunas buenas maneras de pensar acerca de esto.

Answer 5

Hay una gran diferencia entre el dibujo (ya sea en una pantalla de ordenador o con un lápiz) y matemáticas.

Desde el punto de vista matemático, la respuesta de John Hughes explica que hay más curvas que en las fórmulas, por lo que debe haber algunas curvas que no tienen una fórmula.

Pero el dibujo es de un aproximado de proceso -- los píxeles en una pantalla de ordenador y las marcas hechas por el lápiz no son representaciones precisas de fórmulas matemáticas. Las gráficas de las ecuaciones matemáticas son infinitamente delgadas curvas, que son imposibles de producir en una pantalla de ordenador o en papel.

Así, supongamos que usted me dé un dibujo de una curva. Yo podría escanearlo para obtener un blanco y negro imagen de mapa de bits (una matriz bidimensional de píxeles). Deje $v_{ij}$ es el valor de la $ij$-ésimo de píxeles, donde $v_{ij}=1$ significa negro y $v_{ij}=0$ significa blanco para$1 \le i \le m$$1 \le j \le n$. Para cada una de las $i,j$, definir una función $\phi_{ij}: [1,m] \times [1,n] \to [0,1]$ por \begin{align} \phi_{ij}(x,y) &= v_{ij} \quad \text{ if } x = i \text{ and } y = j \\ \phi_{ij}(x,y) &= 0 \quad \text{ otherwise } \end{align} y definir $$ \phi(x,y) = \sum_{i=1}^m \sum_{j=1}^n \phi_{ij}(x,y) $$ A continuación, la curva es el conjunto $$ S = \{ (x,y) \in \mathbb{R}^2: \phi(x,y) = 1 \} $$ o, de manera menos formal, la curva tiene la ecuación de $\phi(x,y) = 1$. Si se va a graficar esta ecuación (en el sistema como Mathematica, por ejemplo), entonces el resultado sería visualmente muy cerca del dibujo original, tal vez incluso indistinguible.

Pero esta representación es esencialmente basada en píxeles, que usted dijo que se quería evitar. Podría ser convertido en un vector/línea de base, a pesar de que. Las funciones de $\phi_{ij}$ no son continuas, sino que usted puede reemplazar con aumento brusco de forma continua. A continuación, la función de $\phi$ es continua. Usted puede visualizar como un paisaje que tiene aristas (con la altura de la $z=1$) que siga la curva original. Queremos que el gráfico de contorno a la altura de la $z=1$ en este paisaje. Existen técnicas bien conocidas para el cómputo de este tipo de perfiles, ya sea como polilíneas o como las curvas spline. Uno de ellos está marchando plazas. Las polilíneas y splines son un poco trampa, podría decirse, ya que son funciones que están definidas a trozos. Pero, me sentí libre para doblar las reglas, ya que no ha estado precisamente.