¿Qué fracción de una esfera puede ver un observador externo?

Question

Aquí es un problema de geometría.

1. Que haber una esfera de radio R y vamos a llamarlo la luna.
2. Que exista un observador externo: A.
3. A está a una distancia d a (superficie de) la luna.
4. [Editar] A es un Cyclope, tiene sólo un ojo.

Pregunta:

¿Qué fracción de la esfera puede A ver?

Me gustaría la solución con una demostración.

Gracias.

Answer 1

Tomar un avión a través de $A$ y el centro de la esfera, $C$. Construcción de las dos tangentes a la esfera de $A$, y dicen que uno de ellos cumpla el ámbito en $B$. Ahora encontrar el ángulo, $\theta = \angle ACB$, que la radio a través de $B$, $CB$ (que es perpendicular a la tangente, por supuesto) se hace con la radial de la línea de $CA$: considere el triángulo $ABC$. Entonces usted sabe que el radio de la esfera es $R$, y ese es el lado adyacente, y la distancia al centro de la $A$$R+d$, así que esa es la hipotenusa. Por lo tanto $$\cos{\theta} = \frac{R}{R+d} = \frac{1}{1+d/R}.$$

Ahora, la fórmula para el área de un casquete esféricoes $$2\pi(1-\cos{\theta}),$$ así que la respuesta es $$2\pi \left( 1-\frac{1}{1+d/R} \right) = \frac{2\pi d}{R+d}.$$

Answer 2

Ya, $d$ es la distancia del ojo del observador a partir de la superficie por lo tanto la distancia del ojo del observador desde el centro de la luna es $R+d$. (Como se muestra en la figura siguiente, el ojo del observador (en el punto de $O$) está a una distancia de $(d+R)$ desde el centro de la $C$ de la esfera (Luna))

Ahora, vamos a $2\alpha$ ser el cono de ángulo subtendido por la superficie visible para el observador y dibujar cualquier línea tangente a la superficie (de la luna) para obtener un triángulo rectángulo en el que nos hemos $$\cos \alpha=\frac{\text{radius}}{\text{distance from the center}}$$ $$\color{blue}{\cos \alpha=\frac{R}{R+d}}$$
Ahora, considere la posibilidad de una escuela primaria (circular) anillo de anchura $Rd\theta$ & radio $R\sin\theta$ ( $(Rd\theta)(2\pi R \sin\theta$ ) sobre la superficie esférica, a continuación, el $\color{blue}{\text{area visible to the observer}}$ (Mediante la integración ) $$=\int_{0}^{\alpha} (R d\theta)(2\pi R\sin \theta)$$ $$=2\pi R^2\int_{0}^{\alpha}\sin\theta d\theta$$ $$=2\pi R^2\left[-\cos\theta\right]_{0}^{\alpha}=2\pi R^2\left[-\cos\alpha+1\right]$$ $$=2\pi R^2 (1-\cos \alpha)$$ $$=2\pi R^2 \left(1-\frac{R}{R+d}\right)$$ $$=2\pi R^2 \left(\frac{d}{R+d}\right)$$

Por lo tanto, la $\color{blue}{\text{fraction of surface area visible to the observer}}$ $$=\frac{\text{area visible to the observer}}{\text{total surface area}}$$ $$=\frac{2\pi R^2 \left(\frac{d}{R+d}\right)}{4\pi R^2}$$ $$\color{blue}{=\frac{d}{2(R+d)}}$$

Answer 3

Supongamos que usted está mirando desde arriba, de modo que se vea de una región de la esfera a la que se ve como el ártico, todo por encima de un cierto margen de la línea de $y = c$ (lo que constituye un círculo en la esfera en sí misma). El área de esta "tapa" de la región es $2\pi R (R - c)$ (Ver abajo).

Así que la única pregunta es "¿qué es $c$?" Desde el centro de la tierra a la vista a un punto en el círculo de latitud es un triángulo rectángulo; la pierna más corta es $R$, la hipotenusa es $R + d$, por lo que el largo de la pierna es $$a = \sqrt{ (R+d)^2 - R^2 }$$

El ángulo en el centro de la tierra es, a continuación,$\theta = \arccos(\frac{R}{R+d})$, por lo que el $y$-coordenadas de latitud línea es $R$ multiplicado por el coseno de ese ángulo, es decir, $$c = R\cos(\arccos(\frac{R}{R+d})) = \frac{R^2}{R+d},$$ y la zona es $$\begin{align} 2\pi R (R - c) &= 2\pi R (R - \frac{R^2}{R+d}) \\ &= 2\pi R (\frac{R(R+d)}{R+d} - \frac{R^2}{R+d}) \\ &= 2\pi R (\frac{R^2+ Rd}{R+d} - \frac{R^2}{R+d}) \\ &= 2\pi R (\frac{Rd}{R+d}) \\ &= 2\pi R^2 (\frac{d}{R+d}) \\ \end{align}$$

La razón por la zona de reclamación por encima: el mapa que proyecta un punto de $(x, y, z)$ de una esfera hasta el punto de $(x/R, y, z/R)$ del cilindro circunscrito, donde $R = \sqrt{x^2 + z^2}$, tiene un derivado cuyo determinante es 1, por lo que es el área de la preservación. De manera que el área de una tapa de la esfera por encima de la altura $c$ es la misma que el área de una sección de un cilindro por encima de la altura $c$, es decir,$2\pi R (R - c)$.

Answer 4

He aquí un enfoque totalmente diferente, ciertamente no es lo que usted pidió.

La respuesta es bastante fácil una vez que sabes la fórmula del área de un casquete esférico (el área dentro de un pequeño círculo {*}). Si el radio angular de su tapa es $\theta$, entonces el área dentro de es $2\pi(1-\cos\theta)R^2$. A decir verdad, soy demasiado perezoso para escribir la prueba, que implica una integración fácil, así que voy a omitir. De todos modos, cuando se divide por el area de la totalidad de la esfera ($4\pi R^2$), consigue $(1-\cos\theta)/2$.

Como John Hughes dice en su respuesta, usted está tratando con un triángulo rectángulo, y se puede ver, por hacer un plano de la sección transversal, que si la Luna subtienda un ángulo de $2\varphi$ como se observa, el radio angular $\theta$ de su tapa, es el complemento de a $\varphi$. Desde la Luna, de la Tierra, subtienda un ángulo de aproximadamente $1/2^\circ$, $\theta=89.75^\circ$. Y al conectarlo en la fórmula, se obtiene $49.782\%\,$. (Si la Luna había sido esférica, que definitivamente no lo es.)

{*} un pequeño círculo es un círculo sobre la superficie de la esfera que es (en general) no es un gran círculo.

Answer 5

Pueden utilizar algunas propiedades geométricas ya conocidas.

Hasta que punto de tangencia, distancia a lo largo del eje es la media armónica de los extremos (una propiedad en tangencia), entre $d , ( 2 R +d ) = \frac {d (2R+d)}{R+d}$.

Restando d, obtenemos $\frac {R d}{R+d}$ % altura $h$del casquillo esférico.

Con propiedad que la superficie de área del segmento esférico es proporcional a la altura del segmento del casquillo [$(h/2R) * 4 \pi R^2$], dividimos las $2 R$ a $\dfrac {d}{2(R+d)}.$