La línea de Sorgenfrey ($\mathbb R$ dotada con la topología del límite inferior $\tau_l$) es Lindelöf

Question

En el proceso de demostrar que la recta de Sorgenfrey $(\mathbb R$ dotado de la topología de límite inferior $\tau_l)$ es lindelöf he hecho el siguiente intento:

Escogí una cobertura $\mathcal U$ de $\mathbb R$ con los elementos elegidos arbitrariamente de $\tau_l.$ Luego, para $q\in\mathbb Q$ elegí $G_q\in \mathcal U$ tal que $q\in G_q$ para formar el conjunto $K=\{G_q:q\in\mathbb Q\}.$ Mi intuición dice que este $K$ debe cubrir $\mathbb R$ ya que, sin importar qué irracional elija, a su izquierda existe (debido a la densidad de $\mathbb R$) un racional arbitrariamente cercano que sería incluido en algún miembro de $K.$ Ahora es aquí donde me quedé atascado ya que no puedo convertir mi intuición al lenguaje matemático. ¿Alguien puede sugerirme alguna solución?

Answer 1

Esta prueba no funcionará. Si lo hiciera, en general, podríamos probar que un espacio separable es siempre Lindelöf (elegir un elemento de cobertura para cada miembro de un conjunto denso contable). Y hay muchos contraejemplos a esta idea (el cuadrado de este espacio es uno de ellos).

Sugerencia para una mejor prueba: considera una cobertura por conjuntos abiertos básicos $[a,b)$. Luego, considere la colección de los correspondientes $(a,b)$ en $\mathbb{R}$ en la topología usual. Esto ya no necesita ser una cobertura, pero como $\mathbb{R}$ es de segundo conteo, se puede demostrar que un número contable de estos intervalos abiertos tienen la misma unión exacta que todos estos $(a,b)$. Entonces solo necesitamos cubrir los puntos finales contables que podríamos haber pasado por alto...