La existencia de independientes e idénticamente distribuidas variables aleatorias.

Question

A menudo veo que la frase "vamos a $X_1, X_2, \ldots$ ser una secuencia de yo.yo.d. variables aleatorias con una cierta distribución". Pero dada una variable aleatoria $X$ sobre un espacio de probabilidad $\Omega$, ¿cómo sé que no es una secuencia de variables aleatorias INDEPENDIENTES de la misma distribución en $\Omega$?

Answer 1

La forma más fácil de mostrar la existencia en nuestro caso es el de construir un espacio de probabilidad. La intuición es que es fácil definir la probabilidad conjunta medida en algunos de los "simples" establece mediante el alcoholímetro de la propiedad y, a continuación, uno aprovecha el célebre Caratheodory extensión del teorema.

Más precisamente, vamos a $(E,\mathcal E)$ ser medible espacio donde nuestros aleatoria de las variables deben tomar valores y dejamos $\mu$ ser una medida de probabilidad en $(E,\mathcal E)$ que representa la distribución de las variables aleatorias. Definir $\Omega = E^{\mathbb N_0}$ a ser el espacio de contables trajctories $E$ y deje $\mathcal F$ ser su producto $\sigma$-álgebra. Definir la probabilidad de medida $\mathsf P$$(\Omega,\mathcal F)$, sólo se basa en la independencia, es decir, para cualquier $A_0,\dots,A_N\in \mathcal E$ ponemos $$ \mathsf P(X_0\en A_0,\dots,X_n\en A_n):=\mu(A_0)\times \dots\times \mu(A_n). $$ Hasta ahora, la medida de $\mathsf P$ sólo está definida en la colección de $\mathcal A$ medibles de los rectángulos, es decir, el subconjunto de $\Omega$ de la forma $A_0\times\dots\times A_n\times \Omega\times\Omega\times\dots$ donde $A_i\in \mathcal E$. Finito uniones de elementos de $\mathcal A$ formulario del álgebra, decir $\mathcal B$. Claramente, $\mathsf P$ es un número finito de pre-medida en $\mathcal B$ y, por tanto, por la extensión de Caratheodory teorema obtenemos la única medida $\mathsf P$$\mathcal F = \sigma(\mathcal B)$.

Como Ahriman ha señalado, si dada una variable aleatoria $X:\Omega\to E$ puede que no sea posible construir toda la secuencia en $\Omega$ ya que el último puede ser muy pobre espacio, así que tendría que ir por un rico espacio. Por ejemplo, $E$ siempre puede ser considerado como un espacio muestral para la distribución a través de ella, tomando $\mathrm id_E$ es una variable aleatoria. Pero en el caso de $E = \{a,b\}$ e tiene $\mu(a) = 0.4$ $\mu(b) = 0.6$ sólo es posible construir una y sólo una variable aleatoria definida en $E$ ha $\mu$ como una distribución.

Answer 2

Ya que estamos yo.yo.d., usted puede utilizar un producto a medida de un producto en un espacio de $\Omega\times\Omega\times\Omega\times\cdots$.

Y para muchos propósitos, usted puede tomar $\Omega=\mathbb R$ y dejar que los subconjuntos medibles de $\Omega$ ser los conjuntos de Borel.