¿Por qué las funciones trascendentales y sus argumentos deben ser adimensionales?

Question

Buscando la respuesta en internet me encontré con una respuesta que daba esta explicación "Otra forma de ver claramente por qué el argumento de una exponencial debe ser adimensional es la expansión de Taylor: $\exp(x)=1+x+x^2/2+\cdots$ Cada término tiene una dimensión diferente si x es acotado, y por tanto no se puede sumar".

¡Pero esto no es una prueba en el sentido en que lo hacemos en las matemáticas! Entonces, ¿alguien puede aportar una prueba matemáticamente sólida?

Answer 1

No se necesita ninguna prueba, es cierto simplemente por la definición de las unidades. Cuando se trata de unidades en cualquier cálculo de física, generalmente respetamos los siguientes axiomas no oficiales que definen las unidades:

1) Una unidad se trata como una variable en cualquier cálculo

2) Cualquier número que sea lineal en una unidad específica (sin intercepción) se dice que es una cantidad de "esas unidades".

Así pues, si "m" es una unidad, eso significa que sólo podemos clasificar una cantidad como si tuviera "unidades de m" si es de la forma $k \text{m}$ para algún número sin unidades $k$ . Respetando la definición anterior, vemos que $x = e^{2 \text{m}} = 1 + 2 \text{m} + 2 \text{m}^2 + \frac{4}{3} \text{m}^3 + \cdots$ no es estrictamente de la forma $k \text{m}$ Por lo tanto, según la definición anterior, no se puede decir que tenga "unidades de m".

Aparte de esa definición, no creo que las "unidades" tengan una definición formal en las matemáticas puras (quizás alguien me indique que estoy equivocado), así que sin esa definición formal, no puedes hacer una demostración. Necesitas una definición como la que he escrito arriba.

Answer 2

Puedes pensar en la ecuación del movimiento

$s(t) = s(0) + v(0) t + \frac{a}{2} t^2$

como una expansión de Taylor de la función $s(t)$ alrededor de $t=0$ , exacto para una aceleración constante. Los coeficientes de esta serie son $s(0)$ , $v(0)$ y $a$ ( $=a(0)$ ) y tienen diferentes unidades.

Al ampliar una función $f(x)$ en series de Taylor, los coeficientes vienen dados por

$a_n = \frac{1}{n!} \left[\frac{d^n f(x)}{dx^n}\right]_{x=x_0}$

y por lo tanto tienen unidades de $f$ , $f/x$ , $f/x^2$ , $f/x^3$ etc.

Así, la expansión correcta de $exp(x)$ para $x$ en metros es

$exp(x) = 1 m + x + \frac{1}{2m} x^2 + \frac{1}{6m^2} x^3 + ... $

Por ejemplo,

$exp(2m) = 1 m + 2m + \frac{1}{2m} 4 m^2 + \frac{1}{6m^2} 8 m^3 + ... $

Si quiere mantener la expansión tan simple como

$exp(x) = 1 + x + \frac{x^2}{2!} + \frac{x^3}{3!} + ... $ ,

será mejor que tengas una $x$ .

Además, una unidad debe tratarse como un factor de multiplicación. Diferentes funciones tratan los factores multiplicados de diferentes maneras. Por ejemplo,

$log(4.18 J) = log(4.18) + log(J)$ y

$e^{4.18 J} = (e^{J})^{4.18} = (e^{4.18})^{J}$ .

Eso es demasiado complicado y suele evitarse en las fórmulas de las ciencias naturales.

En algunas ecuaciones que implican entropía, el logaritmo se divide como en $log(ab) = log(a) + log(b)$ de tal manera que los argumentos $a$ y $b$ son dimensionales. La página de Wikipedia [ Ecuación Sackur-Tetrode ] 1 tiene un ejemplo de tales ecuaciones, pero también una justificación para ello:

En sentido estricto, el uso de argumentos acotados a los logaritmos es incorrecto, sin embargo su uso es un "atajo" hecho por simplicidad. Si cada argumento logarítmico se dividiera por un valor estándar no especificado valor estándar no especificado expresado en términos de una masa, longitud y tiempo, estos valores estándar se anularían en el resultado final, produciendo la misma conclusión. Los términos individuales de entropía no serán absolutos, sino que dependerán de los estándares elegidos, y diferirán difieren con diferentes estándares por una constante aditiva.