Demostrar que .

Question

<blockquote> <p>Demostrar eso si $\displaystyle \lim_{x \to \infty} f(x)$ y $\displaystyle \lim_{x \to \infty} f'(x)$ son los números verdaderos, entonces $\displaystyle \lim_{x \to \infty} f'(x) = 0$.</p> </blockquote> <p><strong>Intento de</strong></p> <p>Intuitivamente, esto tiene sentido para mi. Tomar el $y = x$. Esta inclinación es constante pero aumenta arbitrariamente, y parece que no podemos hacer la pendiente y el valor de $f(x)$ a ser números verdaderos sin "aplanar" a la gráfica. Probé primero decir $\displaystyle \lim_{x \to \infty} f(x) = a$ y $\displaystyle \lim_{x \to \infty} f'(x) = b$. Entonces podríamos hacer algo con la regla de L'Hospital.</p>

Answer 1

Si $\lim_{x\to\infty}f(x)$ existe, entonces claramente

$$\lim_{x\to\infty}\left(1+{f(x)\over x}\right)=1$$

Pero califica ${x+f(x)\over x}$ para L'Hopitation, que da

$$\lim{x\to\infty}\left({x+f(x)\over x}\right)=\lim{x\to\infty}\left({1+f'(x)\over 1}\right)=1+\lim_{x\to\infty}f'(x)$$

Por lo tanto, $\lim_{x\to\infty}f'(x)=0$.

Answer 2

$\displaystyle f(n+1)-f(n)=\frac{f(n+1)-f(n)}{n+1-n}=f'(c_n)$ donde $c_n\in (n,n+1)$

Que $n\to \infty$, $$0=\lim_\infty f'$ $

Answer 3

Indirecta: $f(x)-f(x0)=\int{x_0}^x f'(t)\,dt$, especialmente para algunos suficientemente grande $x_0$ $x\ge x_0$.

Answer 4

Me gusta la respuesta de Barry Cipra. Aquí está otra prueba en la misma línea: $$ \lim{x\to \infty} f (x) = \lim{x\to \infty} {x f (x) \over x} = \lim{x\to \infty} {x f + f (x) \over 1} = \lim{x\to \infty} \big (x f + f(x)\big) $$ ahora if $\lim{x\to \infty} f'(x)>0$ , $\lim{x\to \infty} f(x)= +\infty$ y si $\lim_{x\to \infty}f'(x)