¿Es posible encontrar dos funciones diferenciables $f$ y $g$ y $g$ para lo cual $x = f(x)g(x)$ y $f(0) = g(0) = 0$

Question

¿Es posible encontrar dos funciones diferenciables $f$ y $g$ y $g$ para lo cual $x = f(x)g(x)$ y $f(0) = g(0) = 0$ ?

El hecho de que ambas funciones tengan que ser diferenciables lo hace un poco más complicado, pero podemos decir $\lim_{x \to a} \dfrac{f(x)-f(a)}{x-a} = \lim_{x \to a} \dfrac{\frac{x}{g(x)}-\frac{a}{g(a)}}{x-a}$ que debe definirse en todas partes. Del mismo modo, con $g$ . ¿Cómo puedo demostrar que esto es posible?

Answer 1

Suponiendo que estas funciones existen, al diferenciar la igualdad se obtiene $$\forall x, 1=f'(x)g(x) + g'(x)f(x)$$

Enchufando $x=0$ rinde $1=0+0$ una contradicción.

Answer 2

Ni siquiera puedes tener un de ellos siendo diferenciables (el otro simplemente continuo). En efecto, supongamos $f$ es diferenciable. Entonces $$ f'(0) = \lim_{x\to 0}\frac{f(x)-f(0)}{x-0} = \lim_{x\to 0}\frac{f(x)}{x} = \lim_{x\to 0}\frac{1}{g(x)} = \infty. $$ Contradicción.