¿Hay un mapa entre variedades de Riemann con derivadas limitadas de Lipschitz?

Question

Deje $X,Y$ ser de Riemann colectores. Deje $f:X \to Y$ ser un diferenciable en todas partes del mapa, de tal manera que el operador de la norma $\|df_p\|_{op}$ a nivel mundial es limitada (desde arriba) por $L$.

Es cierto que $f$ es Lipchitz? (¿qué acerca de la $L$-Lipschitzity?)

Estoy interesado en la cuestión general en el caso de baja regularidad, yo.e no asumo $f$ $C^1$ (a continuación, es bastante fácil). En particular, esto significa que por un buen camino $\alpha:I \to X$, no sabemos a priori que $f\circ \alpha$ es de Lipschitz, así que no necesariamente tienen que escribir su longitud como la integral de la velocidad.

Tenga en cuenta que en el caso de que $X,Y$ son Euclidiana espacios, la respuesta es positiva y es conocido como el "valor de la media de la desigualdad". Sin embargo, el estándar de prueba no parece pase para el caso general.

Actualizado "conjetura":

Supongo que $f$ tiene que ser de Lipschitz, y aun $L$-Lipschitz.

En primer lugar, desde el nivel local la métrica de Riemann es "cercano" a la métrica Euclidiana, supongo que uno podría reclamar local-Lipschitzity sin duda tiene (es cierto que algunos detalles son probablemente necesarios para justificar este rigurosamente).

Entonces, para cualquier buen camino $\alpha$ en $X$, $f \circ \alpha$ también serán localmente Lipchitz y (compacidad?) incluso Lipchitz. Así podemos expresar su longitud como la integral de la velocidad, por lo $f$ $L$- Lipschitz por el argumento habitual.

Answer 1

Sí, esto es cierto. Demostrando que $f$ $L$- Lipschitz es un problema local. Considere la posibilidad de un camino de $p: [a,b]\to X$ satisfacción $|p'(t)|=1$ y la composición de la $q=f\circ p$.

Set $y_0:= q(a)$ y considerar también la función de distancia $d_{y_0}: Y\to {\mathbb R}$, dado por $d(y_0, y)$. Ya que el problema es local, es suficiente con considerar el caso cuando la imagen de $q$ está contenida en un convexo vecindario $U$$y_0$; en este barrio de la función de distancia $d_{y_0}$ es diferenciable lejos de $y_0$; también es 1-Lipschitz (por la desigualdad de triángulo). Por lo tanto, la norma de su gradiente es $\le 1$ $U$ (lejos de $y_0$ del curso).

Ahora, tenga en cuenta la composición de la $h(t):= d_{y_0}\circ q(t)$. Esta función es diferenciable en el intervalo de $(a,b)$ y continua en $[a,b]$; también satisface $|h'(t)|\le L$ $(a,b)$ (la regla de la Cadena). Por lo tanto, por el Valor medio Teorema, $$ d(q(a), q(b))= h(b)\le la L|b-a|. $$ De ello se desprende que el mapa de $f$ $L$- Lipschitz.