Condición de rango completo para el producto de dos matrices

Question

Dadas dos matrices $A_{m\times n}$ y $B_{n\times p}$ ¿Cuál es la condición suficiente y necesaria para $AB$ para tener un rango completo?

Lo sé. $r(AB)=r(B)-\dim N(A) \cap R(B)$ Entonces, ¿es cierto lo anterior si $\dim N(A)\cap R(B)=0$ ? Pero parece incorrecto si $m\lt p$ . Por favor, ayuda.

Answer 1

Supongamos que queremos multiplicar dos matrices $A$ y $B$ y queremos calcular el rango. Todas las soluciones que satisfacen $ABx=0$ están en el espacio NULO de $AB$ . Si $Bx=0$ entonces la ecuación se satisface y por lo tanto todo en el espacio NULO de $B$ está en el espacio NULL de $AB$ . Ahora $A$ viene, si hay algo en el espacio NULO de $A$ Es decir, $Ax=0$ y esa combinación se extiende por el espacio de columnas de $B$ entonces tenemos un vector $z=Bx$ tal que está en el espacio NULO de $A$ por lo que se reduce el rango. Conclusión: ¡Es cierto!

Answer 2

Ampliando un poco los comentarios, se puede decir lo siguiente. El rango del producto de un $m\times n$ y un $n\times p$ matriz nunca puede superar $n$ (ni puede superar $m$ o $p$ pero eso es obvio por el tamaño del producto). Esto se debe a que, si quiere encontrar $r$ (por rango) vectores en el espacio de origen (de dimensión $p$ ) cuyas imágenes por el producto de las matrices son linealmente independientes, entonces sus imágenes por la primera matriz aplicada ( $B$ ) también deben ser linealmente independientes, y esto sólo puede ser así si la dimensión del espacio intermedio lo permite: $r\leq n$ . Así que si $n<\min(m,p)$ entonces el producto puede nunca tienen el rango completo.

Si $\min(m,p)\leq n\leq \max(m,p)$ entonces el producto tendrá rango completo si ambas matrices del producto tienen rango completo: dependiendo del tamaño relativo de $m$ y $p$ el producto será entonces o bien un producto de dos mapeos inyectivos o bien de dos mapeos suprayectivos, y esto es de nuevo inyectivo o suprayectivo. Sin embargo, esta condición de factores de rango completo no es necesaria: si $m\geq n>p$ entonces $A$ puede tener un núcleo no nulo, siempre que forme una suma directa con la imagen de $B$ , mientras que si $m<n\leq p$ entonces la imagen de $B$ no necesita ser todo el espacio, siempre que su suma con el núcleo de $A$ llena ese espacio.

Cuando $n>\max(m,p)$ todo lo que se puede decir en general, conociendo sólo los rangos de $A$ y $B$ es la condición necesaria habitual para que $B$ sea inyectiva (si $m\geq p$ ) o que $A$ sea suryente (si $m\leq p$ ) para que $AB$ para ser inyectiva respectivamente suryectiva, es decir, de rango completo. De nuevo, la condición precisa para $AB$ para ser inyectiva es $\ker A\oplus\mathop{\textrm{im}}B$ (esto da "rango completo" cuando $m\geq p$ ), y para $AB$ para ser suryente es $\ker A+\mathop{\textrm{im}}B=\mathbf R^n$ (esto da "rango completo" cuando $m\leq p$ ).

Puede ser interesante observar que se puede definir el rango de un $m\times p$ matriz $C$ como el valor mínimo $r$ tal que existe una descomposición $C=AB$ con $A$ de tamaño $m\times r$ y $B$ de tamaño $r\times p$ . No da inmediatamente un buen método para calcular el rango, pero le permite entender inmediatamente que no puede tener un rango completo en su pregunta a menos que $n\geq\min(m,p)$ .