Centro de $\mathfrak {sl}_{3}\mathbb{C} $ álgebra de mentira

Question

$\mathfrak {sl}_{3}\mathbb{C}$ es la Mentira de álgebra de $3\times3$ matrices con entradas complejas y traza $0$ y la Mentira soporte de $[X,Y] = XY-YX \hspace{3mm} \forall \hspace{3mm} X,Y\in \mathfrak {sl}_{3}\mathbb{C}$. El centro de $\mathfrak {sl}_{3}\mathbb{C}$ es el conjunto de todos los $Z\in \mathfrak {sl}_{3}\mathbb{C}$ s.t. $[Z,X]=0 \hspace{2mm} \forall \hspace{2mm} X \in \mathfrak {sl}_{3}\mathbb{C}$.

Quiero mostrar que este centro es $\left\{\mathbf{0}\right\}$. Es allí una manera de mostrar esto sin tener que acabar con muchos de ecuaciones a resolver? Yo estaba pensando en representación de $X$ en términos de la base para $ \mathfrak{sl}_{3}\mathbb{C}$ y, a continuación, sería suficiente para demostrar que $[Z,K]=0$ implica $Z=\mathbf{0}$ por cada base el elemento $K$ $ \mathfrak{sl}_{3}\mathbb{C}.$ Pero no estoy seguro de si esto es verdad, y también significa resolver muchas ecuaciones.

Gracias

Answer 1

Como algunas personas ya se dijo en los comentarios, es necesario que la intuición de que el trabajo sobre la base $(E_{ij})$ (las matrices con $1$ en uno de entrada y $0$ en todos los demás). Pero hay otros medios de prueba de que el centro de $\mathfrak z(\mathfrak{sl}_n\mathbb C)$ $\mathfrak{sl}_n\mathbb C$ es nulo como, por ejemplo, el uso de la Schur del Lexema.

Para una mejor comprensión de qué hipótesis son necesarios, nos vamos a generalizar la discusión a un número finito dimensional espacio vectorial $V$ bajo una algebraicamente cerrado campo de $\mathbb K$ de los característicos $0$ en lugar de $\mathbb C^n$.

Decimos que un subconjunto $\Gamma\subset\mathfrak{gl}(V)$ es irreducible si para todo correcto subespacio W (es decir, $\neq 0$ o $V$) $V$ hay $v\in W$ $X\in\Gamma$ tal que $Xv\notin W$.

Se puede afirmar, una versión de la Schur del Lema como:

Deje $V$ (bajo la hipótesis de arriba) y $\Gamma$ un subconjunto irreducible de $\mathfrak{gl}(V)$. Si $Z$ conmutan con todos los elementos de a $\Gamma$ $Z=\lambda I$ (donde $I$ es la función identidad) para algunos $\lambda\in\mathbb K$.

Así, uno puede comprobar que $\mathfrak{sl}(V)$ es un conjunto irreducible de $\mathfrak{gl}(V)$ (puede hacerlo eligiendo una base para $V$). Por lo tanto, si $Z\in\mathfrak z(\mathfrak{sl}(V))$ $$ZX-XZ=[Z,X]=0,$$ para todos los $X\in\mathfrak{sl}(V)$, y, por el Schur del Lexema, $Z=\lambda I$, para algunas de las $\lambda\in\mathbb K$. Así, desde la $\operatorname{tr}Z=0$ todos los $Z\in\mathfrak z(\mathfrak{sl}(V))$, debemos tener la $\mathfrak z(\mathfrak{sl}(V))=0$.

Vamos a demostrar el por encima de la versión de Schur Lema.

Supongamos $\lambda\in\mathbb K$ es un autovalor (posiblemente $0$)$Z$. Definir $$T:=Z-\lambda I.$$ Desde $Z$ $I$ conmutan con todos los elementos de a$\Gamma$, también lo $T$.

La imagen de $\operatorname{Im}(T)$ $T$ es invariante por $\Gamma$ (es decir, no hay $v\in\operatorname{Im}(T)$ $X\in\Gamma$ tal que $Xv\notin\operatorname{Im}(T)$). De hecho, por cada $v\in V$, $$X(Tv)=T(Xv)\in\operatorname{Im}(T).$$ Así, desde la $\Gamma\subset\mathfrak{gl}(V)$ es irreductible, debemos tener la $\operatorname{Im}(T)=V$ o $0$. También, $\operatorname{Im}(T)$ puede no ser $V$ porque $T=Z-\lambda I$ no nulo kernel y $\dim V<\infty$. Por lo tanto, $$Z-\lambda I = T = 0.$$