Resolución de sistemas de ecuaciones lineales cuando la matriz de coeficientes es singular

Question

Al intentar resolver un problema del tipo $AX=B$ donde $A$ es la matriz de coeficientes, $X$ contiene las variables y $B$ es el lado derecho, resultó que el $A$ era singular. Como resultado, no podía premultiplicar ambos lados por $A^{-1}$ . En tal caso, ¿cómo resolvería las variables sin tener que utilizar matrices aumentadas?

He aquí la cuestión:

$$\begin{pmatrix} 1&2&1&1&1 \\ 2&1&2&1&1 \\ 1&2&3&1&1 \\ 2&2&1&1&3 \\3&3&5&2&2 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} u \\ v \\ w \\ x \\ y \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 6.3 \\ 6.7 \\ 7.7 \\ 9.8 \\10.9 \end{pmatrix}$$

Desde $A$ es singular no puedo hacer $X=A^{-1}B$ que es el método que yo utilizaría normalmente para resolver las incógnitas. En partes posteriores del libro que estoy estudiando eluden a un método con el que uno puede utilizar para resolver para $X$ pero no da más detalles. ¿Alguien tiene una idea de cómo resolver este problema (o cualquier problema en general donde A es singular) sin el uso de matrices aumentadas o es que la única manera?

Answer 1

Incluso cuando el sistema de ecuaciones es singular, se puede encontrar una solución por mínimos cuadrados resolviendo el sistema $A^{T}Ax=A^{T}b$ .

Answer 2

Según mi comentario, la eliminación gaussiana es quizá lo más fácil de hacer.

Sin embargo:

No tiene que realizar la reducción de filas tal y como indica el Algoritmo de Gauss.

Dos sistemas cualesquiera que tengan matrices aumentadas equivalentes en filas tienen el mismo conjunto de soluciones.

Hay muchas cancelaciones que se pueden producir en tu matriz utilizando operaciones de fila, aparte de las utilizadas en la eliminación gausiana; intenta aprovecharte de ello.

Si tienes suerte, puedes obtener la solución, si la hay, a través de métodos ad-hoc examinando la forma equivalente de fila "dispersa" de la matriz aumentada.

Observe aquí que la matriz aumentada para su sistema es equivalente a la fila (añadiendo múltiplos de la fila 1 a las demás): $$\begin{pmatrix} 1&2&1&1&1&\ \ 6.3 \\ 1&-1&1&0&0&\ \ .4 \\ 0&0&2&0&0&\ \ 1.4 \\ 1&0&0&0&2&\ \ 3.5\\1&-1&3&0&0&\ \ -1.7 \end{pmatrix}$$

Lo anterior equivale a (trabajando con las filas 2 y 5):

$$\begin{pmatrix} 1&2&1&1&1&\ \ 6.3 \\ 1&-1&1&0&0&\ \ .4 \\ 0&0&2&0&0&\ \ 1.4 \\ 1&0&0&0&2&\ \ 3.5\\0&0&2&0&0&\ \ -2.1 \end{pmatrix}$$

Vemos que no hay solución.

Answer 3

Utiliza la descomposición de valor singular para obtener una aproximación de bajo rango de la matriz de coeficientes. Ejemplo: (utilizando MATLAB para simplificar. se puede obtener fácilmente esta solución a mano)

A=[1 1;2 2];
b=[5 5];
[U,S,V]=svd(A);
A_approx=U(:,1)*S(1,1)*V(:,1)';

Ahora, se puede utilizar A_approx en lugar de A para obtener una solución en el sentido de mínimos cuadrados como @Paul mencionó anteriormente.

Answer 4

Si la matriz es singular, la ecuación $Ax=b$ no tiene solución. Esto significa que $b$ no se encuentra en el intervalo de $A$ . Sin embargo, es posible encontrar un vector $x_0$ tal que la imagen $Ax_0$ está más cerca'' de $b$ en un sentido que pueda precisarse. Esto requiere una métrica o norma en el espacio objetivo.

Un ejemplo de ello es el Pseudoinverso de Moore-Penrose de $A$ .