¿Lo que pasó con integración de $\frac {x^a}{1-x^b}$?

Question

<blockquote> <p><strong>Pregunta:</strong> Integrar %#% $ #%</p> </blockquote> <p>Comencé con la sustitución $$I=\int\limits_0^{\infty}dx\,\frac {x^a}{1-x^b}$ % que $u=x^b$. ¿Por lo tanto, $du=bx^{b-1}$ es igual du as$I$$$I=\frac 1b\int\limits_0^{\infty}du\, (1-u)^{-1}u^{(a-b+1)/b}$v=(1-u)^{-1}$Next I made the substitution $dv=-(1-u)^{-2}\ $ so $ I $. Now, $$ is equal to$$I=\frac 1b\int\limits_0^{1}dv\, v^{-1}\left(\frac {v-1}{v}\right)^{(a-b+1)/b}=\frac 1b(-1)^{(a-b+1)/b}\int\limits_0^1dv\, (1-v)^{(a-b+1)/b}v^{-(a-b+1)/b-1}$$However, evaluating the beta function on the right-hand side gives$$I=\frac {\pi}b\color{red}{(-1)^{(a-b+1)/b}\csc}\left(\frac {\pi(a+1)}b\right)$$Which is definitely wrong because the answer is supposed to be$ $Can alguien ayudar me averiguar lo que hice mal en mi trabajo?</p>

Answer 1

Su primera sustitución está bien (pero escribir $dx$ $du$ al final de la integral): $$x^b=u, x=u^{\frac{1}{b}},x^a=u^{\frac{a}{b}},\\ bx^{b-1}dx=du \a b(u^{\frac{1}{b}})^{b-1}dx=du \dx=\frac{1}{b}u^{\frac{1}{b}-1}du$$ $$\int_0^{\infty} \frac{x^a}{1-x^b}dx=\int_0^{\infty}\frac{u^{\frac{a}{b}}}{1-u}\cdot \frac{1}{b}u^{\frac{1}{b}-1}du=\frac{1}{b}\int_0^{\infty} (1-u)^{-1}u^{\frac{a}{b}+\frac{1}{b}-1}du=\\ \frac{1}{b}\int_0^{\infty} (1-u)^{-1}u^{\frac{a-b+1}{b}}du.$$ Su segunda sustitución debe ser: $$v=(1-u)^{-1} \dv=(1-u)^{-2}du, \\ v(0)=1,v(\infty)=0.$$ tenga en cuenta que no hay ningún signo de menos, debido a la regla de la cadena.

El próximo paso debe ser: $$I=\frac 1b\int\limits_1^{0} v\cdot \left(\frac {v-1}{v}\right)^{(a-b+1)/b}dv=\frac 1b(-1)^{(a+1)/b}\int\limits_0^1 (1-v)^{(a-b+1)/b}v^{-(a-b+1)/b+1}dv.$$

Answer 2

El único error que veo es la substitución de la primera, el exponente de $u$ debe ser $a/b-b+1$.