Demuestre la siguiente desigualdad trignométrica para todos los$x$% reales

Question

Demuestre la siguiente desigualdad trignométrica para todos$x \in \Bbb R$$$x^2 \sin(x) + x \cos(x) + x^2 + {\frac 12} >0$ $

tomar$x$ en forma de radianes.
Esta pregunta en particular es la séptima pregunta de la RMO India de 1995.

Answer 1

Poner $t=\tan(\frac{x}{2})$. Ahora sustitúyalo en la expresión original. Tenemos$$ x^{2}\sin x + x\cos x + x^{2} + \frac{1}{2}$$ $$= (1+\sin x)x^{2} + x\cos x+\frac{1}{2}$$ $$=(1 + \frac{2t}{1+t^{2}})x^{2} + x(\frac{1-t^{2}}{1+t^{2}}) + \frac{1}{2}$$ $$= \frac{(1+t)^{2}}{1+t^{2}}[x^{2} - x\frac{1-t^{2}}{(1+t)^{2}} + \frac{(1-t^{2})^{2}}{4(1+t)^{4}} + \frac{1+t^{2}}{4}]$$ $$= \frac{(1+t)^{2}}{1+t^{2}}[x-\frac{1-t^{2}}{2(1+t)^{2}}]^{2} + \frac{(1+t)^{2}}{4} > 0. $ $ Espero que ayuda

Answer 2

El discriminante de la "cuadrática" ecuación es $$\cos^2x-2(\sin x+1)=-(\sin x+1)^2$$ y no es positivo.

Al $\sin x=-1$, las inecuaciones se reduce a

$$-x^2+x^2+1/2>0,$ $ , lo cual es cierto.

Al $\sin x\ne-1$, no puede ser que las raíces reales, y la función es positiva en todas partes.

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Muy interesante, una trama de la función de llevar a creer en una infinidad de valores cero de la LHS, por lo tanto la anulación de la reclamación. De todos modos, todos estos son falsos raíces.

Answer 3

Reescribir como$$f(x)=(1+\sin x)x^2+(\cos x) x+\frac 12$ $

Multiplique por$4(1+\sin x)\ge 0$ para completar el cuadrado con$$4(1+\sin x)f(x)=$ $

ps

Como la suma de dos cuadrados (usando$$\left(2(1+\sin x)x+\cos x\right)^2-\cos^2x+2(1+\sin x)=(2(1+\sin x)x+\cos x)^2+(1+\sin x)^2\ge 0$). Ahora cualquier caso de igualdad debe tener$\cos^2 x=1-\sin^2 x$ y en este caso$1+\sin x=0$. Entonces no hay caso de igualdad para$f(x)=\frac 12\gt 0$ y tenemos$f(x)$.

Answer 4

Puede haber maneras más eficientes, pero esto es lo que tengo:

Si es positivo (es decir, no negativo) entonces, ciertamente, cuando se multiplica por una función positiva se mantendrá positivo... para este fin, se multiplica por $\sin^2(x)\cos^2(x)$ esto da $$x^2\sin^3\cos^2(x)+x\sin^2(x)\cos^3(x)+x^2\sin^2(x)\cos^2(x)+\frac{1}{2}\sin^2(x)\cos^2(x)$$

Ahora bien, esto es positivo siempre que $x^2\cos^2(x)(\sin^2(x)-\sin^3(x))$ es positivo y lo mismo si $\frac{1}{2}\cos^2(x)\sin^2(x) - x\sin^2(x)\cos^3(x)$ es positivo. Te voy a mostrar que el primer término es positivo. Este primer término es positivo sólo si $g(x)=\sin^2(x)-\sin^3(x)$ es positivo. Al tomar la derivada obtenemos que esta función tiene sus raíces precisamente al$x=n\pi$$n\in \mathbb{Z}$. Si calculamos la segunda derivada obtenemos $$g''(x) = 3\sin^3(x)-2\sin^2(x)+2\cos^2(x)-6\sin(x)\cos^2(x)$$ y en $x=n\pi$ tenemos que $g''(x)=2>0$, por lo tanto, la función es siempre positiva y de la misma manera podemos comprobar que el otro término de $\frac{1}{2}\cos^2(x)\sin^2(x) - x\sin^2(x)\cos^3(x)$ es positivo.