Mostrar $\int_{\gamma}e^{iz}e^{-z^2}dz$ mismo valor en cada línea paralela a $\mathbb{R}$

Question

Desde un antiguo calificador: Demuestra que $$\large\int_{\gamma}e^{iz}e^{-z^2}\mathrm dz$$ tiene el mismo valor en cada trayectoria recta $\gamma$ paralela al eje real. Justifica las estimaciones involucradas.

Mi primera idea fue dibujar una franja larga e integrar sobre ella. Por el teorema de Cauchy, la integral es cero, y puedo comparar las contribuciones. Me gustaría que, para franjas bien elegidas, la contribución en los lados fuera enteramente imaginaria y que en la parte superior/inferior fuera enteramente real, o viceversa. Pero hasta ahora, sin suerte.

Answer 1

Tomemos un rectángulo con vértices $\pm R, \pm R + iY$, para un $Y$ arbitrario pero fijo.

En los bordes entre $R$ y $R+iY$ resp $-R$ y $-R+iY$, la integranda se puede estimar

$$\bigl\lvert e^{iz}e^{-z^2} \bigr\rvert \leqslant e^{\lvert Y\rvert}e^{Y^2-R^2},$$

por lo que la contribución de estas integrales está dominada por

$$\lvert Y\rvert e^{\lvert Y\rvert + Y^2 - R^2} \xrightarrow{R\to +\infty} 0,$

entonces, dado que por el teorema integral de Cauchy la integral sobre el rectángulo es $0$, se sigue la proposición.