Ecuaciones geodésicas por principio variacional

Question

Me gustaría recuperar la (timelike) geodesics ecuaciones a través de la variacional de las siguientes acciones:

$$ \mathcal{S}[x] = -m \int d\tau = -m \int \sqrt{-g_{\mu\nu}\,dx^{\mu}\,dx^{\nu}} $$

El uso de un arbitrario auxiliar parámetro $\lambda$, entonces uno es capaz de reescribir la acción y se obtiene: $$ d\tau = \sqrt{-g_{\mu\nu}\, \tfrac{dx^{\mu}}{d\lambda}\tfrac{dx^{\mu}}{d\lambda}} d\lambda $$ $$ -m \int d\tau = -m \int (d\tau / d\lambda) d\lambda = -m\int\sqrt{-g_{\mu\nu}\, \tfrac{dx^{\mu}}{d\lambda}\tfrac{dx^{\mu}}{d\lambda}} d\lambda $$

Ahora podemos variar las rutas de $x^{\mu}(\tau) \rightarrow x^{\mu}(\tau) + \delta x^{\mu}(\tau)$.

Necesito la siguiente ecuación para ser verdad, así que conseguir el geodesics ecuaciones, pero no sé cómo se puede decir lo siguiente: $$ \int d\tau \,\delta g_{\mu\nu}\frac{dx^{\mu}}{d\tau} \frac{dx^{\nu}}{d\tau} = \int d\tau\, g_{\mu\nu, \rho} \frac{dx^{\mu}}{d\tau} \frac{dx^{\nu}}{d\tau} \delta x^{\rho} $$ Sé que hay una manera más simple de la acción, que conduce a la misma ecuación de movimiento, pero ahí uno tiene que hacer la misma manipulación, que yo lamentablemente no lo entiendo.

Gracias por ayudarme!

Answer 1

Su acción es: $$ S[x] = -m\int_{\lambda_0}^{\lambda_1}\sqrt{-g_{\mu\nu}(x(\lambda))\, \tfrac{dx^{\mu}}{d\lambda}\tfrac{dx^{\mu}}{d\lambda}} d\lambda $$ y usted tiene que imponer $\delta S=0$ con las restricciones de $\delta x(\lambda_0) =\delta x(\lambda_1) =0$, lo que significa que las curvas en el dominio de $S$ han fijado los extremos.

Para calcular los $\delta S$, usted tiene que reemplazar $x$ $x+ \epsilon \delta x$ (por lo $\frac{dx}{d\lambda}$ debe ser reemplazado por $\frac{dx}{d\lambda} + \epsilon\frac{d \delta x}{d\lambda}$ ) y, finalmente, para calcular la derivada respecto a $\epsilon$$\epsilon=0$.

$$\delta S[x] = \frac{d}{d\epsilon}|_{\epsilon=0} S[x+ \epsilon \delta x]\:.$$

El cálculo conduce a la (suponiendo que $g$ y las curvas se $C^1$, estas curvas se define en el compacto $[\lambda_0,\lambda_2]$ se puede intercambiar el símbolo de la integral con la de $\epsilon$ derivado, fundamentalmente a través de un conocido por el teorema de Lebesgue) $$ \delta S[x] = -\frac{m}{2}\int_{\lambda_0}^{\lambda_1}\frac{- \frac{\partial g_{\alpha \beta}}{\partial x^\delta} \delta x^\delta \tfrac{dx^{\alpha}}{d\lambda}\tfrac{dx^{\beta}}{d\lambda} - 2g_{\alpha\beta} \frac{d \delta x^\alpha}{d\lambda}\frac{d x^\beta}{d\lambda}}{\sqrt{-g_{\mu\nu}(x(\lambda))\, \tfrac{dx^{\mu}}{d\lambda}\tfrac{dx^{\mu}}{d\lambda}}} d\lambda\:. $$ Observe que $x$ aparece en $g_{\mu\nu}=g_{\mu\nu}(x)$, demasiado, y que da lugar a la contribución $\frac{\partial g_{\mu\nu}(x)}{\partial x^\sigma}\delta x^\sigma$ que usted menciona en su pregunta.

El denominador en la integral no se desvanecen a medida que somos diferentes de nuestra curva en la clase de timelike curvas uniendo los dos extremos fijos.

Integrando por partes, se obtiene: $$ \frac{2}{m}\delta S[x] = \int_{\lambda_0}^{\lambda_1}\delta x^\delta\frac{ \frac{\partial g_{\alpha \beta}}{\partial x^\delta} \tfrac{dx^{\alpha}}{d\lambda}\tfrac{dx^{\beta}}{d\lambda} }{\sqrt{-g_{\mu\nu}(x(\lambda))\, \tfrac{dx^{\mu}}{d\lambda}\tfrac{dx^{\mu}}{d\lambda}}} d\lambda -\int_{\lambda_0}^{\lambda_1} \delta x^\alpha\frac{d}{d \lambda}\frac{2g_{\alpha\beta} \frac{d x^\beta}{d\lambda} }{\sqrt{-g_{\mu\nu}(x(\lambda))\, \tfrac{dx^{\mu}}{d\lambda}\tfrac{dx^{\mu}}{d\lambda}}} d\lambda + [...]\delta x^\alpha(\lambda_1)-[...]\delta x^\alpha(\lambda_0)\:. $$ Los dos últimos términos pueden ser eliminadas como se desvanecen por hipótesis. Cambiar el nombre de algunos suman los índices nos encontramos con:

$$ \frac{2}{m}\delta S[x] = \int_{\lambda_0}^{\lambda_1}\delta x^\delta\left[\frac{ \frac{\partial g_{\alpha \beta}}{\partial x^\delta} \tfrac{dx^{\alpha}}{d\lambda}\tfrac{dx^{\beta}}{d\lambda} }{\sqrt{-g_{\mu\nu}(x(\lambda))\, \tfrac{dx^{\mu}}{d\lambda}\tfrac{dx^{\mu}}{d\lambda}}} -\frac{d}{d \lambda}\frac{2g_{\delta\beta} \frac{d x^\beta}{d\lambda} }{\sqrt{-g_{\mu\nu}(x(\lambda))\, \tfrac{dx^{\mu}}{d\lambda}\tfrac{dx^{\mu}}{d\lambda}}} \right]d\lambda\:. $$ Desde el LHS se desvanece para cada elección de la variación $\delta x^\delta(\lambda)$, llegamos a la conclusión de que $\delta S[x]=0$ en una curva de $x=x(\lambda)$ es equivalente a la exigencia de que dicha curva verifica: $$\frac{ \frac{\partial g_{\alpha \beta}}{\partial x^\delta} \tfrac{dx^{\alpha}}{d\lambda}\tfrac{dx^{\beta}}{d\lambda} }{\sqrt{-g_{\mu\nu}(x(\lambda))\, \tfrac{dx^{\mu}}{d\lambda}\tfrac{dx^{\mu}}{d\lambda}}} -\frac{d}{d \lambda}\frac{2g_{\delta\beta} \frac{d x^\beta}{d\lambda} }{\sqrt{-g_{\mu\nu}(x(\lambda))\, \tfrac{dx^{\mu}}{d\lambda}\tfrac{dx^{\mu}}{d\lambda}}} =0\:.\quad (1)$$ Podemos cambiar el parámetro y el uso adecuado del tiempo $d\tau$ por lo que: $$d\lambda \sqrt{-g_{\mu\nu}(x(\lambda))\, \tfrac{dx^{\mu}}{d\lambda}\tfrac{dx^{\mu}}{d\lambda}} = d\tau$$ y (1) se convierte en: $$\frac{1}{2}\frac{\partial g_{\alpha \beta}}{\partial x^\delta} \frac{dx^{\alpha}}{d\tau}\frac{dx^{\beta}}{d\tau} -\frac{d}{d \tau}g_{\delta\beta} \frac{d x^\beta}{d\tau} =0\:.\cuádruple (2)\:.$$ La expansión de la última derivado de cambiar el nombre de $\beta$ $\mu$en el último término: $$\frac{1}{2}\frac{\partial g_{\alpha \beta}}{\partial x^\delta} \frac{dx^{\alpha}}{d\tau}\frac{dx^{\beta}}{d\tau} - \frac{\partial g_{\delta\beta}} {\partial x^\sigma} \frac{d x^\sigma}{d\tau}\frac{d x^\beta}{d\tau} -g_{\delta\mu} \frac{d^2 x^\mu}{d\tau^2} =0\:.\cuádruple (2)\:.$$ En otras palabras: $$\frac{d^2 x^\mu}{d\tau^2} - g^{\delta\mu} \frac{1}{2}\frac{\partial g_{\alpha \beta}}{\partial x^\delta} \frac{dx^{\alpha}}{d\tau}\frac{dx^{\beta}}{d\tau} + g^{\delta\mu} \frac{\partial g_{\delta\beta}} {\partial x^\sigma} \frac{d x^\sigma}{d\tau}\frac{d x^\beta}{d\tau} =0\:.$$ El cambio de nombre de algunos índices: $$\frac{d^2 x^\mu}{d\tau^2} + \frac{1}{2}g^{\mu\delta}\left(2\frac{\partial g_{\delta \beta}}{\partial x^\sigma} - \frac{\partial g_{\sigma\beta}} {\partial x^\delta}\right) \frac{d x^\sigma}{d\tau}\frac{d x^\beta}{d\tau} =0\:.$$ Finalmente, la explotación de $g_{\delta \beta}= g_{\beta\delta}$: $$\frac{d^2 x^\mu}{d\tau^2} + \frac{1}{2}g^{\mu\delta}\left(\frac{\partial g_{\delta \beta}}{\partial x^\sigma} + \frac{\partial g_{\beta \delta}}{\partial x^\sigma}- \frac{\partial g_{\sigma\beta}} {\partial x^\delta}\right) \frac{d x^\sigma}{d\tau}\frac{d x^\beta}{d\tau} =0\:.$$ Ahora note que: $$\frac{\partial g_{\delta \beta}}{\partial x^\sigma} \frac{d x^\sigma}{d\tau}\frac{d x^\beta}{d\tau} = \frac{\partial g_{\delta \sigma}}{\partial x^\beta} \frac{d x^\beta}{d\tau}\frac{d x^\sigma}{d\tau}=\frac{\partial g_{\delta \sigma}}{\partial x^\beta} \frac{d x^\sigma}{d\tau}\frac{d x^\beta}{d\tau}$$ de modo que la identidad puede ser re-escrita como: $$\frac{d^2 x^\mu}{d\tau^2} + \frac{1}{2}g^{\mu\delta}\left(\frac{\partial g_{\delta \sigma}}{\partial x^\beta} + \frac{\partial g_{\beta \delta}}{\partial x^\sigma}- \frac{\partial g_{\sigma\beta}} {\partial x^\delta}\right) \frac{d x^\sigma}{d\tau}\frac{d x^\beta}{d\tau} =0\:.$$ Hemos encontrado: $$\frac{d^2 x^\mu}{d\tau^2} + \Gamma^\mu_{\sigma_\beta}\frac{d x^\sigma}{d\tau}\frac{d x^\beta}{d\tau} =0\:,$$ como deseaba.

Answer 2

Hay dos definiciones de geodesics aquí.

1. local a pie de minimizar las curvas Minimizar la acción, como lo hizo, \begin{equation} S(\gamma) = \int_a^b \sqrt{ g_{\mu\nu} \dot{x}^{\mu} \dot{x}^{\nu} } dt = \int_a^b L dt \end{equation} El de Euler, ecuación de Lagrange asociados con esta acción es \begin{equation} \frac{d}{dt}(\frac{\partial L}{\partial \dot{x}^{\mu}}) - \frac{\partial L}{\partial x^\mu}= 0 \end{equation}

2. curvas en las que su vector tangente es paralela a transportar. Minimizar la acción, \begin{equation} E(\gamma) = \int_a^b \frac{1}{2}g_{\mu\nu} \dot{x}^{\mu} \dot{x}^{\nu} dt = \int_a^b \frac{1}{2}L^2 dt \end{equation} a través de Euler Lagrange ecuación \begin{equation} \frac{d}{dt}(\frac{\partial L}{\partial \dot{x}^{\mu}}) - \frac{\partial L}{\partial x^\mu} = -\frac{1}{L}\frac{\partial L}{\partial \dot{x}^{\mu}} \frac{d}{dt}L \end{equation} y obtener la solución(después de algunos álgebra) \begin{equation} \ddot{x}^{\lambda} + \Gamma^{\lambda}_{\mu\nu} \dot{x}^\mu \dot{x}^\nu = 0 \end{equation} Esta curva paralela transporta el vector tangente.

Le aviso \begin{eqnarray} \frac{d}{dt}(\frac{\partial L}{\partial \dot{x}^{\mu}}) - \frac{\partial L}{\partial x^\mu} = 0\\ \frac{d}{dt}L = 0 \end{eqnarray} resuelve de Euler-Lagrange las ecuaciones en ambos casos. $\frac{d}{dt}L$ sólo corrige la parametrización. Para un colector de Riemann, el parámetro difiere de la longitud de la curva por una transformación afín \begin{equation} S(\gamma_{sol}(t)) = \int_a^t L(\gamma_{sol}(\tau) d\tau = (t-a) L(\gamma_{sol}(t=0) ) \end{equation} es por eso que algunos libros de texto directamente de la longitud(o el buen tiempo) como el parámetro en el primer lugar.

La segunda definición es a veces llamado afín geodesics. Mientras que en el GR, en la mayoría de los casos estamos hablando afín geodesics, que es un local minimizando la curva y una parametrización afín.