Demostrar que una secuencia es Cauchy pero no convergente

Question

Considere $X$ para ser el conjunto de todas las funciones continuas de valor real sobre $C[0,1]$ con la métrica

$$d(x,y) = \int_{0}^{1} |x(t) - y(t)| dt$$

Demostrar que $x_n(t) = \left\{\begin{matrix} n& 0 \leq t \leq n^{-2} \\ t^{-1/2}& n^{-2} \leq t \leq 1 \end{matrix}\right.$ es Cauchy, pero no converge.

Así que esto es lo que hice, básicamente asumí que $m > n$ (para algunos $m$ ) $$d(x_n, x_m) = \int_{0}^{m^{-2}}|x_n-x_m|dt + \int_{m^{-2}}^{n^{-2}}|x_n-x_m|dt + \int_{n^{-2}}^{1}|x_n-x_m|dt = \int_{0}^{m^{-2}}|n-m|dt + 0 + 0 = (m - n)m^{-2}$$

Ahora bien, según el libro, la respuesta debería haber sido $m^{-1} - n^{-1}$ para $n > m$ .

En cuanto a la convergencia, tengo $d(x_n,x) = \int_{0}^{n^{-2}} |x_n - x| dt + \int_{n^{-2}}^{1} |t^{-1/2} - x| dt \to 0$ implica que $x(t) =1/\sqrt{t}$ en $[0,1]$ . Pero $x(0)$ es indefinido, por lo que no es continuo.

No estoy seguro de haberlo hecho bien, confío más en la parte de convergencia que en la de Cauchy.

Answer 1

Si $m>n$ , usted tiene $d(x_m,x_n) = \int_{0}^\frac{1}{m^2} |m-n| dt + \int_{\frac{1}{m^2}}^\frac{1}{n^2} |\frac{1}{\sqrt{t}}-n| dt + \int_{\frac{1}{n^2}}^1 |\frac{1}{\sqrt{t}}-\frac{1}{\sqrt{t}}| dt = \frac{m-n}{mn}$ . Se deduce que la secuencia es Cauchy.

Hay que trabajar un poco más para demostrar que la secuencia $x_n$ no converge a una función continua. Tu idea es correcta, pero tienes que demostrar que $d(x,x_n) \to 0$ implica que $x_n(t) \to \frac{1}{\sqrt{t}}$ en $(0,1]$ . Otra forma es demostrar directamente que $x_n$ no puede converger a ninguna función continua $f$ . Como has observado, depende del comportamiento en $t=0$ .

Dejemos que $f$ sea una función continua. Entonces, para algún $k>0$ y $\epsilon>0$ tenemos $f(t) \leq k$ para $t \in [0,\epsilon]$ . Sin pérdida de generalidad, podemos elegir $\epsilon < \frac{1}{k^2}$ . Sea $n > \frac{2}{\sqrt{\epsilon}}$ entonces \begin{eqnarray} d(x_n,f) &\geq& \int_{[0,\epsilon]} (x_n(t)-k) dt \\ &=& \int_{[0,\frac{1}{n^2}]}(n-k)dt +\int_{[\frac{1}{n^2},\epsilon]}(\frac{1}{\sqrt{t}}-k)dt \\ &=& \frac{1}{n^2}(n-k)+2\sqrt{\epsilon}-k\epsilon+\frac{k}{n^2}-\frac{2}{n} \\ &=& 2\sqrt{\epsilon}-k\epsilon-\frac{1}{n} \\ &=& \sqrt{\epsilon}(2-k \sqrt{\epsilon})-\frac{1}{n} \\ &\geq & \sqrt{\epsilon} -\frac{1}{n} \\ & = & \frac{\sqrt{\epsilon}}{2} > 0 \end{eqnarray} De ello se desprende que $x_n$ no puede converger a ninguna función continua.