En Jackson ' expresión de s para la función verde electrostática, ¿por qué se toma el Laplaciano con respecto a las coordenadas preparadas?

Question

Jackson escribe,

La función de $1/|\mathbf{x} - \mathbf{x}'|$ es sólo uno de una clase de funciones dependiendo de las variables$\mathbf{x}$$\mathbf{x}'$, y la llama Verde de funciones, que satisface (1.31). En general,

$\nabla'^2 G(\mathbf{x}, \mathbf{x}') = -4\pi \delta(\mathbf{x} - \mathbf{x}')$

Un poco más abajo, ...

$$ \Phi(\mathbf{x}) = \frac{1}{4\pi \epsilon_0} \int_V \rho(\mathbf{x}') G(\mathbf{x}, \mathbf{x}') \, d^3x' + \frac{1}{4\pi}\oint_S \left[G(\mathbf{x}, \mathbf{x}') \frac{\partial \Phi}{\partial n'} - \Phi(\mathbf{x}') \frac{\partial G(\mathbf{x}, \mathbf{x}')}{\partial n'}\right] \, da' $$

Desde la integración se realiza a través de la imprimación de coordenadas, parece que $G$, como una función de la $\mathbf{x}$, representa el campo debido a una fuente en un punto en $\mathbf{x}'$. No debería entonces satisfacer la ecuación de $\nabla^2 G(\mathbf{x}, \mathbf{x}') = -4\pi \delta(\mathbf{x} - \mathbf{x}')$, es decir, con el Laplaciano tomado el imprimado coordenadas? Tomando el Laplaciano sobre la imprimación de coordenadas parece depender de la variación en el campo en un punto fijo mientras que el punto de origen se mueve, que no parece significativa.

Answer 1

Me parece que $\nabla^2 G(\mathbf{x}, \mathbf{x}')= -4\pi \delta(\mathbf{x} - \mathbf{x}')$, es la ecuación correcta.

En general, podemos escribir $G(\mathbf{x}, \mathbf{x}')$ $H(x^+, x^-)$, $x^\pm = x\pm x'$. Por lo que tenemos, con $\partialx = \partial+ + \partial- $ y $\partial{x'} = \partial+ - \partial- $:

$\nabla^2 G(\mathbf{x}, \mathbf{x}') = (\partial+^2 + \partial-^2 + 2 \partial+ \partial-) H(x^+, x^-)$

$\nabla'^2 G(\mathbf{x}, \mathbf{x}') = (\partial+^2 + \partial-^2 - 2 \partial+ \partial-) H(x^+, x^-)$

Así que las expresiones de $2$ son diferentes. Ahora, en el caso especial, donde podría escribir $G(\mathbf{x}, \mathbf{x}')= H(x^+, x^-)$ $G(\mathbf{x}, \mathbf{x}')=H(x^+, x^-) = H+(x^+) + H-(x^-)$, entonces tenemos $\partial+ \partial- H(x^+, x^-) = 0$, y las expresiones de $2$ son equivalentes. Por ejemplo, éste es el caso, cuando sólo depende $G(\mathbf{x}, \mathbf{x}')$ $x^-=x-x'$

Answer 2

Lógicamente hablando, usted puede tener un punto. Esto es porque, que han hecho de la distinción que la imprimación de coordenadas indica el punto de origen y el no sensibilizadas coordenadas indica el punto de evaluación. Sin embargo, sabemos que la homogeneidad y la isotropía del espacio implica que las leyes de la física son invariantes w.r.t espacial de las traslaciones y rotaciones. Esto implica que las funciones de Green no debe cambiar de forma si la fuente y el punto de evaluación se intercambian. En otras palabras $G(x,x') = G(x',x)$. Por lo tanto, matemáticamente no importa si los derivados que se toman w.r.t. el preparado o no sensibilizadas coordenadas.