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Demostrando que existe una función continua

Sea $f: [0,1] \rightarrow \mathbb{R}$ una función continua y sean $T_f: [0,1] \rightarrow \mathbb{R}$ y $S_f: [0, 1] \rightarrow \mathbb{R}$ definidas como:

$$T_f(x) = 1+\int_{0}^{x} f(s) ds\\ S_f(x) = \begin{cases} f(x+1/2) \ \text{si } x < 1/2 \\ f(1) \ \text{si } x \ge 1/2 \end{cases}$$

Además, definamos $W_f = \alpha T_f + \beta S_f$ para algunos números reales $\alpha$ y $\beta$.

Demuestra que si $|\alpha| + |\beta|<1$, entonces existe una función continua $f: [0,1] \rightarrow \mathbb{R}$ tal que $W_f = f$.

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¿Qué has intentado? ¿Has logrado averiguar qué debe ser $f$ pero no la prueba o ni siquiera sabes cuál es la respuesta? ¿Has resuelto el problema para algún valor específico de $\alpha$ y $\beta$? ¿Algunos valores no triviales?

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Quizás puedas encontrar un $f$ adecuado para $\beta=0, \, \alpha=\frac12$? ¿Qué pasa con $\beta=0$ en general?

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Para ser honesto, realmente no sé ni por dónde empezar con esta prueba :( Normalmente dejo cualquier intento que haya hecho en mis publicaciones, pero con esta pregunta, realmente estoy bloqueado.

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Gio67 Puntos 36

Utilice el teorema del punto fijo de Banach enlace en el espacio $C([0,1])$. Tienes $$|W_f(x)-W_g(x)|\le |\alpha| \int_0^x|f(s)-g(s)|\,ds+|\beta||S_f(x)-S_g(x)| \le (|\alpha|+|\beta|)\Vert f-g\Vert_\infty$$ y así $$\Vert W_f-W_g\Vert_\infty\le (|\alpha|+|\beta|)\Vert f-g\Vert_\infty$$

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Gracias, entiendo, pero al final me he perdido un poco, ¿puedes explicar en detalle cómo llegaste a la desigualdad $|\alpha| \int_0^x|f(s)-g(s)|\,ds+|\beta||S_f(x)-S_g(x)| \le (|\alpha|+|\beta|)\Vert f-g\Vert_\infty$?

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$|\alpha| \int_0^x|f(s)-g(s)|\,ds \le |\alpha| \int_0^x\Vert f-g\Vert_\infty\,dx\le |\alpha|\Vert f-g\Vert_\infty 1$. También $|f(x+\frac12)-g(x+\frac12)|\le \Vert f-g\Vert_\infty$ y $|f(1)-g(1)|\le \Vert f-g\Vert_\infty$.

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¡Genial, eso ayuda mucho! Explicación muy detallada.

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M Afifi Puntos 657

Esto se puede mostrar fácilmente usando el teorema del punto fijo de Banach. Todo lo que necesitamos hacer es demostrar que $$W: C([0,1]) \rightarrow C([0,1]): f\mapsto W_f$$ es una contracción, es decir: $$\lVert W_f - W_g\rVert \leq c\lVert f- g\rVert$$ donde $0

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Dan Robertson Puntos 987

Primero intentemos averiguar qué es $f$. Expandiremos la ecuación $f = W_f$: $$f(x) = \alpha\left(1+\int_0^xf(s)\mathrm ds\right) + \beta S_f(x)$$ Ahora diferenciaremos: $$f'(x) - \alpha f(x) = \beta S_f'(x).\tag{1}$$

Ahora necesitamos averiguar qué es $S_f'(x)$. Así que pensamos mucho y escribimos $$S_f'(x) = \left\{ \begin{matrix}f'\left(x+\frac12\right)&x\le\frac12\\0&x\ge\frac12\end{matrix}\right.$$ Probablemente sería bueno si los dos casos se cumplieran en $x=\frac12$, pero solo necesitamos que $f$ sea continua y no diferenciable (en todas partes).

Parece que podemos resolver la ecuación $(1)$ para $x>\frac12$ como $f'=\alpha f$ entonces $f=A\mathrm e^{\alpha x}$. Ahora podemos escribir qué es $f'(x+\frac12)$ para $x\in\left[0,\frac12\right]:$ $$f'(x)-\alpha f(x)=\alpha\beta A\mathrm e^{\alpha x}\mathrm e^{\frac\alpha2}.\tag{2}$$

Sabemos entonces que la solución a esto se verá como $f=(A+Bx)\mathrm e^{\alpha x}$ así que resolvemos para $B$ para obtener $B=\alpha\beta A \mathrm e^{\frac\alpha2}.$ Ahora podemos escribir la solución hasta ahora: $$f(x)=\left\{\begin{matrix} A\left(1+\alpha\beta x \mathrm e^{\frac\alpha2}\right)\mathrm e^{\alpha x} & x<\frac12 \\ A'\mathrm e^{\alpha x} & x>\frac12 \end{matrix}\right.$$

Ahora ponemos la condición de continuidad para obtener $A'=A\left(1+\frac12\alpha\beta\mathrm e^{\frac\alpha2}\right)$

Finalmente, las condiciones límite se perdieron cuando diferenciamos $f=W_f$ así que las incluiremos para averiguar qué es $A$. \begin{align*} f(0)&=\alpha+\beta f(1)\\ A &=\alpha + \beta A\left(1+\frac12\alpha\beta\mathrm e^{\frac\alpha2}\right)\mathrm e^\alpha\\ A &= \frac{-2\alpha}{2-2\beta\mathrm e^\alpha - \alpha\beta^2\mathrm e^{\frac32\alpha}} \end{align*}

Esto parece ser cómo se ve la solución. Puede haber errores en el proceso. Los siguientes pasos son:

  1. Simplificar lo anterior
  2. Mostrar que la función es continua
  3. Mostrar que la función satisface la ecuación deseada
  4. Mostrar que la función está bien definida
  5. Mostrar que todo esto es cierto siempre y cuando $|\alpha|+|\beta|<1$

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¿Cuál es el punto de todo esto cuando las funciones involucradas no son diferenciables?

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Solo necesitamos encontrar alguna función $f$ de modo que podamos elegirla para que sea diferenciable en todas partes excepto en $\frac12$. Luego solo necesitamos verificar la continuidad en $\frac12$ ya que la diferenciabilidad implica en otros lugares.

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