Primero intentemos averiguar qué es $f$. Expandiremos la ecuación $f = W_f$: $$f(x) = \alpha\left(1+\int_0^xf(s)\mathrm ds\right) + \beta S_f(x)$$ Ahora diferenciaremos: $$f'(x) - \alpha f(x) = \beta S_f'(x).\tag{1}$$
Ahora necesitamos averiguar qué es $S_f'(x)$. Así que pensamos mucho y escribimos $$S_f'(x) = \left\{ \begin{matrix}f'\left(x+\frac12\right)&x\le\frac12\\0&x\ge\frac12\end{matrix}\right.$$ Probablemente sería bueno si los dos casos se cumplieran en $x=\frac12$, pero solo necesitamos que $f$ sea continua y no diferenciable (en todas partes).
Parece que podemos resolver la ecuación $(1)$ para $x>\frac12$ como $f'=\alpha f$ entonces $f=A\mathrm e^{\alpha x}$. Ahora podemos escribir qué es $f'(x+\frac12)$ para $x\in\left[0,\frac12\right]:$ $$f'(x)-\alpha f(x)=\alpha\beta A\mathrm e^{\alpha x}\mathrm e^{\frac\alpha2}.\tag{2}$$
Sabemos entonces que la solución a esto se verá como $f=(A+Bx)\mathrm e^{\alpha x}$ así que resolvemos para $B$ para obtener $B=\alpha\beta A \mathrm e^{\frac\alpha2}.$ Ahora podemos escribir la solución hasta ahora: $$f(x)=\left\{\begin{matrix} A\left(1+\alpha\beta x \mathrm e^{\frac\alpha2}\right)\mathrm e^{\alpha x} & x<\frac12 \\ A'\mathrm e^{\alpha x} & x>\frac12 \end{matrix}\right.$$
Ahora ponemos la condición de continuidad para obtener $A'=A\left(1+\frac12\alpha\beta\mathrm e^{\frac\alpha2}\right)$
Finalmente, las condiciones límite se perdieron cuando diferenciamos $f=W_f$ así que las incluiremos para averiguar qué es $A$. \begin{align*} f(0)&=\alpha+\beta f(1)\\ A &=\alpha + \beta A\left(1+\frac12\alpha\beta\mathrm e^{\frac\alpha2}\right)\mathrm e^\alpha\\ A &= \frac{-2\alpha}{2-2\beta\mathrm e^\alpha - \alpha\beta^2\mathrm e^{\frac32\alpha}} \end{align*}
Esto parece ser cómo se ve la solución. Puede haber errores en el proceso. Los siguientes pasos son:
- Simplificar lo anterior
- Mostrar que la función es continua
- Mostrar que la función satisface la ecuación deseada
- Mostrar que la función está bien definida
- Mostrar que todo esto es cierto siempre y cuando $|\alpha|+|\beta|<1$
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¿Qué has intentado? ¿Has logrado averiguar qué debe ser $f$ pero no la prueba o ni siquiera sabes cuál es la respuesta? ¿Has resuelto el problema para algún valor específico de $\alpha$ y $\beta$? ¿Algunos valores no triviales?
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Quizás puedas encontrar un $f$ adecuado para $\beta=0, \, \alpha=\frac12$? ¿Qué pasa con $\beta=0$ en general?
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Para ser honesto, realmente no sé ni por dónde empezar con esta prueba :( Normalmente dejo cualquier intento que haya hecho en mis publicaciones, pero con esta pregunta, realmente estoy bloqueado.